Общее уравнение динамики - это фундаментальная формула теоретической механики, позволяющая описать движение любой механической системы с идеальными или неидеальными связями. Давайте разберемся, что это за формула, откуда она взялась и как ее можно использовать для решения инженерных задач.
Что такое общее уравнение динамики
Общее уравнение динамики выражает принцип Даламбера для движущихся систем и принцип возможных перемещений для систем в равновесии. Оно имеет следующий вид:
ΣδA + ΣδAин = 0
Здесь ΣδA - сумма работ активных сил системы на возможных перемещениях, ΣδAин - то же самое для сил инерции.
Другими словами, при движении системы сумма работ всех приложенных к ней сил на любом возможном перемещении равна нулю. Это общее уравнение позволяет получить дифференциальные уравнения движения для любой заданной конфигурации тел и связей.
Впервые это уравнение сформулировал Жозеф Луи Лагранж в 1788 году на основе работ Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера и Жана Даламбера. С тех пор общее уравнение динамики стало одним из краеугольных камней теоретической механики наряду с законами Ньютона.
Применение общего уравнения динамики
Чтобы применить общее уравнение динамики для конкретной задачи, нужно:
- Определить конфигурацию системы и степени свободы;
- Задать действующие силы;
- Выбрать систему координат и обобщенные координаты;
- Записать работу сил на возможных перемещениях;
- Приравнять сумму работ к нулю и решить уравнение.
Рассмотрим классический пример задачи. Блок массой m связан с грузом M при помощи нерастяжимой нити и движется по наклонной плоскости с углом наклона α под действием силы тяжести. Требуется найти ускорение блока a.
Применяем общее уравнение динамики:
ΣδA + ΣδAин = 0
Система имеет одну степень свободы - перемещение блока вдоль оси X. Выбираем эту ось в качестве обобщенной координаты. Единственной активной силой является сила тяжести G. Сила инерции блока Fин = ma.
Записываем работу этих сил на возможном перемещении δx:
- AG = 0, т.к. G ⊥ δx
- Aин = Fин × δx = ma × δx
Подставляем в уравнение динамики и получаем:
0 + ma δx = 0
a = g sinα
Вот так просто общее уравнение динамики позволяет получить искомое ускорение!
Принцип возможных перемещений
Давайте теперь разберемся, откуда в уравнении динамики взялись возможные перемещения. Они связаны с принципом возможных перемещений для систем в равновесии.
Этот принцип гласит, что для равновесия системы с идеальными связями сумма работ всех активных сил на любом возможном перемещении должна быть равна нулю:
ΣδA = 0
То есть если представить возможное "виртуальное" перемещение системы, то работа при этом не должна совершаться - иначе равновесие нарушится.
Принцип Даламбера
А как в эту историю вписывается принцип Даламбера? Он распространяет условие равновесия активных и инерционных сил на движущиеся системы:
ΣF + ΣFин = 0
Здесь ΣF - сумма активных сил, ΣFин - сумма сил инерции. Их равенство нулю выражает равновесие.
Вывод общего уравнения динамики
Объединяя эти два принципа - возможных перемещений и Даламбера - и записывая условия равновесия через работы сил, получаем как раз общее уравнение динамики:
ΣδA + ΣδAин = 0
Таким образом, оно выражает равенство нулю суммарной работы на возможных перемещениях для активных и инерционных сил движущейся системы.
Уравнение в обобщенных координатах
Для удобства общее уравнение динамики часто записывают в обобщенных координатах qi. Тогда оно принимает вид системы уравнений:
ΣQi + ΣQии = 0
Здесь Qi и Qии - обобщенные активные и инерционные силы для каждой обобщенной координаты qi. Эта форма записи позволяет получить уравнения Лагранжа 2-го рода для движения механической системы.
Связь с уравнениями Лагранжа
Давайте теперь разберем, как общее уравнение динамики связано с уравнениями Лагранжа. Как мы выяснили, записав его в обобщенных координатах, получаем систему вида:
ΣQi + ΣQии = 0
А уравнения Лагранжа 2-го рода имеют следующий вид:
d/dt(∂T/∂q̇i) - ∂T/∂qi = Qi
Здесь T - кинетическая энергия системы, qi и q̇i - обобщенные координаты и скорости. Получают их путем дифференцирования лагранжиана системы по обобщенным скоростям.
Кинетическая и потенциальная энергия
Лагранжиан же определяется через кинетическую T и потенциальную V энергии системы так:
L = T - V
При этом для консервативных систем обобщенная сила Qi численно равна производной от потенциальной энергии V по соответствующей обобщенной координате qi:
Qi = -∂V/∂qi
Таким образом, метод Лагранжа позволяет найти обобщенные силы для консервативных систем и подставить их в общее уравнение динамики, не вычисляя явно работы на возможных перемещениях. Это значительно упрощает решение многих задач!
Лагранжиан математического маятника
Для математического маятника введем обобщенную координату - угол отклонения стержня φ. Тогда кинетическая энергия равна:
T = (1/2)ml2φ̇2
А потенциальная энергия в однородном поле тяготения:
V = mgl(1 - cosφ)
Лагранжиан системы запишется так:
L = T - V = (1/2)ml2φ̇2 + mglcosφ
Уравнение движения маятника
Дифференцируя лагранжиан по скорости φ̇ и координате φ, получим уравнение Лагранжа:
ml2φ̈ + mgl sinφ = 0
Это и есть искомое дифференциальное уравнение колебаний математического маятника. Получили его, не вычисляя явно работы сил!
Области применения метода
Таким образом, метод Лагранжа оказывается очень эффективным при решении различных задач механики:
- Колебания маятников, мостов, ферм;
- Вращение твердых тел;
- Движение жидкостей и газов.
При этом для неконсервативных систем с силами трения приходится все же прибегать к общему уравнению динамики и прямому подсчету работ.
В статье мы рассмотрели общее уравнение динамики - одну из фундаментальных формул теоретической механики, позволяющих получить дифференциальные уравнения движения для механической системы на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. Подробно разобрали физический смысл и вывод уравнения, алгоритм его применения для решения инженерных задач, связь с уравнениями Лагранжа и метод Лагранжа для консервативных систем.
