Тригонометрия - фундаментальная область математики с множеством прикладных задач. Знание тригонометрических тождеств позволяет решать сложные уравнения и доказывать важные утверждения. В этой статье мы подробно разберем все тригонометрические тождества: их вывод, применение и решение практических задач. Читая этот материал, вы всегда будете иметь под рукой справочник по sinx cosx формулам для решения любых тригонометрических задач.
1. Основные тождества
Основным тригонометрическим тождеством называется формула:
sin2x + cos2x = 1
Это тождество выводится из определений sinx и cosx через соотношения в прямоугольном треугольнике согласно теореме Пифагора. Рассмотрим этот вывод подробнее.
- В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 1 имеем:
- sinx = высота/гипотенуза = OA/OB cosx = прилежащий катет/гипотенуза = OC/OB
- По теореме Пифагора:
OA2 + OC2 = OB2
- Тогда, подставив значения OA, OC и OB, получим:
sin2x + cos2x = 1
Теперь рассмотрим, как с помощью этого тождества найти sinx, если известен cosx. Пусть cos(60°) = 0.5. Тогда по формуле находим sin(60°) = √(1 - cos260°) = √(1 - 0.25) = √0.75 = 0.866.
Аналогично можно найти cosx по известному sinx.
2. Функции двойного и половинного угла
Рассмотрим важное тригонометрическое тождество - формулу двойного угла для sin2x:
sin 2x = 2 sin x cos x
Эта формула может быть получена из треугольника, построенного на дуге, равной удвоенному углу 2x. Подробный вывод здесь опустим.
Данная формула часто используется для замены sin2x на более простое выражение. Например, пусть необходимо вычислить значение 2 sin(2α). Используя формулу двойного угла, получим:
2 sin(2α) = 2 (2 sin α cos α) = 4 sin α cos α
Таким образом, благодаря применению формулы, мы упростили вычисление исходного выражения.
Аналогично для cos2x, tg2x и половинного угла выводятся похожие формулы связи. Давайте выведем одну из них - формулу половинного угла для sin(x/2):
- Из формулы двойного угла имеем: sinx = 2 sin(x/2) cos(x/2)
- Разделим левую и правую часть на cos(x/2):
tg(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)
- Отсюда получаем искомую формулу:
sin(x/2) = tg(x/2) cos(x/2)
Теперь найдем sin(π/12). Из таблицы значений или калькулятора находим tg(π/24) = 0.268. Также cos(π/12) = 0.866. Подставляя в формулу, получаем:
sin(π/12) = 0.268 * 0.866 = 0.25
Формулы тангенса через sinx и cosx
Связь между тангенсом угла x и другими тригонометрическими функциями также выражается тождествами:
tgx = sinx / cosx
ctgx = cosx / sinx
Они определяются из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике с углом x. Давайте рассмотрим пример использования формулы для tgx.
Найдем значение выражения 2 sin α · tg α при cos α = 0,8. Сначала из основного тождества получаем sin α = 0,6. Затем по формуле для tgx находим tg α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75. Подставляя в исходное выражение, имеем: 2 · 0,6 · 0,75 = 0,9.
Формулы сложения и вычитания аргументов
Еще одна группа полезных тригонометрических тождеств связывает функции синуса и косинуса для суммы и разности аргументов:
- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
- sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
Эти формулы могут быть получены с помощью геометрических построений. Они позволяют разложить сложное тригонометрическое выражение на более простые.
Формулы вида sinxcosy ± cosxsiny
Следующая группа тождеств имеет вид:
sinxcosy ± cosxsiny
Например:
- sinxcosy + cosxsiny = sin(x+y)
- sinxcosy - cosxsiny = sin(x-y)
Докажем одну из этих формул, используя геометрическую интерпретацию:
- Рассмотрим векторы в прямоугольной системе координат:
- A(cosx, sinx) B(cosy, siny)
- Тогда их скалярное произведение равно:
cos(x+y) = (A, B)
- Преобразуя это выражение, получаем требуемую формулу.
Применение тригонометрических тождеств
Одно из основных применений тригонометрических тождеств - это решение соответствующих уравнений. Например, рассмотрим уравнение:
sin(π - x) = 0
Используя формулу sin(a - b) и значение sinπ = 0, получаем: cosx = 0. Отсюда находим решение уравнения: x = π/2 + πk.
