В школьном курсе геометрии огромное количество времени уделяется изучению треугольников. Ученики вычисляют углы, строят биссектрисы и высоты, выясняют, чем фигуры отличаются друг от друга, и как проще всего найти их площадь и периметр. Кажется, что это никак не пригодится в жизни, но иногда все-таки полезно узнать, например, как определить, что треугольник равносторонний или тупоугольный. Как же это сделать?
Типы треугольников
Три точки, которые не лежат на одной прямой, и отрезки, которые их соединяют. Кажется, что эта фигура - самая простая. Какими могут быть треугольники, если у них всего три стороны? На самом деле вариантов довольно большое количество, и некоторым из них уделяется особое внимание в рамках школьного курса геометрии. Правильный треугольник - равносторонний, то есть все его углы и стороны равны. Он обладает рядом примечательных свойств, о которых речь пойдет дальше.
У равнобедренного равны только две стороны, и он также довольно интересен. У прямоугольного и тупоугольного треугольников, как несложно догадаться, соответственно, один из углов прямой или тупой. При этом они также могут равнобедренными.
Существует и особый вид треугольника, называемый египетским. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам. При этом он является прямоугольным. Считается, что такой треугольник активно использовался египетскими землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Есть мнение, что с его помощью были возведены знаменитые пирамиды.
И все-таки все вершины треугольника могут лежать на одной прямой. В этом случае он будет называться вырожденным, в то время как все остальные - невырожденными. Именно они и являются одним из предметов изучения геометрии.
Треугольник равносторонний
Разумеется, правильные фигуры вызывают всегда наибольший интерес. Они кажутся более совершенными, более изящными. Формулы вычисления их характеристик зачастую проще и короче, чем для обычных фигур. Это относится и к треугольникам. Неудивительно, что при изучении геометрии им уделяется достаточно много внимания: школьников учат отличать правильные фигуры от остальных, а также рассказывают о некоторых их интересных характеристиках.
Признаки и свойства
Как нетрудно догадаться из названия, каждая сторона равностороннего треугольника равна двум другим. Кроме того, он обладает рядом признаков, благодаря которым можно определить, правильная ли фигура или нет.
- все его углы равны, их величина составляет 60 градусов;
- биссектрисы, высоты и медианы, проведенные из каждой вершины, совпадают;
- правильный треугольник имеет 3 оси симметрии, он не изменяется при повороте на 120 градусов.
- центр вписанной окружности также является центром описанной окружности и точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров.
Если наблюдается хотя бы один из вышеперечисленных признаков, то треугольник - равносторонний. Для правильной фигуры справедливы все упомянутые утверждения.
Все треугольники обладают рядом примечательных свойств. Во-первых, средняя линия, то есть отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей, равна половине основания. Во-вторых, сумма всех углов этой фигуры всегда равна 180 градусам. Кроме того, в треугольниках наблюдается еще одна любопытная взаимосвязь. Так, против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Но это, конечно, к равностороннему треугольнику отношения не имеет, ведь у него все углы равны.
Вписанные и описанные окружности
Нередко в курсе геометрии учащиеся также изучают то, как фигуры могут взаимодействовать друг с другом. В частности, изучаются окружности, вписанные в многоугольники или описанные около них. О чем идет речь?
Вписанной называют такую окружность, для которой все стороны многоугольника являются касательными. Описанной - ту, которая имеет точки соприкосновения со всеми углами. Для каждого треугольника всегда можно построить как первую, так и вторую окружность, но только одну каждого вида. Доказательства двух этих
Помимо вычисления параметров самих треугольников, некоторые задачи также подразумевают расчет радиусов этих окружностей. И формулы применительно к
равностороннему треугольнику выглядят следующим образом:
r = a/√ ̅3;
R = a/2√ ̅3;
где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, a - длина стороны треугольника.
Вычисление высоты, периметра и площади
Основные параметры, вычислением которых занимаются школьники во время изучения геометрии, остаются неизменными практически для любых фигур. Это периметр, площадь и высота. Для простоты расчетов существуют различные формулы.
P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, где a - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной окружности, r - вписанной.
Высота:
h = (√ ̅3/2)*a, где a - длина стороны.
Наконец, формула площади равностороннего треугольника выводится из стандартной, то есть произведения половины основания на его высоту.
S = (√ ̅3/4)*a2, где a - длина стороны.
Также эта величина может быть вычислена через параметры описанной или вписанной окружности. Для этого также существуют специальные формулы:
S = 3√ ̅3r2 = (3√ ̅3/4)*R2, где r и R - соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.
Построение
Еще один интересный тип задач, касающийся в том числе и треугольников, связан с необходимостью начертить ту или иную фигуру, используя минимальный набор
Для того чтобы построить правильный треугольник с помощью только этих приспособлений, необходимо выполнить несколько шагов.
- Нужно начертить окружность с любым радиусом и с центром в произвольно взятой точке А. Ее необходимо отметить.
- Далее нужно провести прямую через эту точку.
- Пересечения окружности и прямой необходимо обозначить как В и С. Все построения должны проводиться с максимально возможной точностью.
- Далее надо построить еще одну окружность с тем же радиусом и центром в точке С или дугу с соответствующими параметрами. Места пересечения будут обозначены как D и F.
- Точки B, F, D необходимо соединить отрезками. Равносторонний треугольник построен.
Решение подобных задач обычно представляет для школьников проблему, но это умение может пригодиться и в обычной жизни.
