Как упрощать логические выражения: функции, законы и примеры

Сегодня мы вместе научимся упрощать логические выражения, познакомимся с основными законами и изучим таблицы истинности функций логики.

Начнем с того, зачем нужен этот предмет. Вы никогда не замечали, как разговариваете? Обратите внимание на то, что наша речь и действия всегда подчиняются законам логики. Для того чтобы знать исход какого-либо события и не попасть впросак, изучите простые и понятные законы логики. Они помогут вам не только получить хорошую оценку по информатике или набрать больше балов на едином государственном экзамене, но и действовать в жизненных ситуациях не наугад.

Операции

Для того чтобы научиться упрощать логические выражения, необходимо знать:

• какие функции есть в булевой алгебре;
• законы сокращения и преобразования выражений;
• порядок выполнения операций.

Сейчас мы рассмотрим эти вопросы очень подробно. Начнем с операций. Их довольно легко запомнить.

1. Первым делом мы отметим логическое умножение, в литературе его называют операцией конъюнкции. Если условие записано в виде выражения, то операция обозначается перевернутой галочкой, знаком умножения или «&».
2. Следующая наиболее часто встречаемая функция – логическое сложение или дизъюнкция. Ее отмечают галочкой или знаком плюса.
3. Очень важна функция отрицания или инверсии. Вспомните, как в русском языке вы выделяли приставку. Графически инверсия обозначается знаком приставки перед выражением или горизонтальной линией над ним.
4. Логическое следствие (или импликация) обозначается стрелкой от значения к следствию. Если рассматривать операцию с точки зрения русского языка, то она соответствует такому виду построения предложения: «если…, то…».
5. Далее идет эквиваленция, которая обозначается двусторонней стрелкой. В русском языке операция имеет вид: «только тогда».
6. Штрих Шеффера разделяет два выражения вертикальной чертой.
7. Стрелка Пирса, аналогично штриху Шеффера, разделяет выражения вертикальной стрелкой, направленной вниз.

Обязательно запомните то, что операции необходимо выполнять в строгой последовательности: отрицание, умножение, сложение, следствие, эквивалентность. Для операций «штрих Шеффера» и «стрелка Пирса» нет правила очередности. Следовательно, их нужно выполнять в той последовательности, в которой они стоят в сложном выражении.

Таблицы истинности

Упростить логическое выражение и построить таблицу истинности для дальнейшего его решения невозможно без знания таблиц основных операций. Сейчас мы предлагаем с ними познакомиться. Обратите внимание на то, что значения могут принимать либо истинное, либо ложное значение.

Для конъюнкции таблица выглядит следующим образом:

Таблица для операции дизъюнкция:

Отрицание:

Следствие:

Равнозначность:

Штрих Шиффера:

Стрелка Пирса:

Законы упрощения

На вопрос о том, как упрощать логические выражения в информатике, нам помогут найти ответы простые и понятные законы логики.

Начнем с самого простого закона противоречия. Если мы умножаем противоположные понятия (А и неА), то получаем ложь. В случае сложения противоположных понятий, мы получаем истину, этот закон имеет название «закон исключенного третьего». Часто в булевой алгебре встречаются выражения с двойным отрицанием (не неА), в таком случае мы получаем ответ А. Также есть два закона де Моргана:

• если у нас есть отрицание логического сложения, то мы получаем умножение двух выражений с инверсией (не(А+В)=неА*неВ);
• аналогично действует и второй закон, ели мы имеем отрицание операции умножения, то получаем сложение двух значений с инверсией.

Очень часто встречается дублирование, одно и то же значение (А или В) складывается или умножается между собой. В таком случае действует закон повторения (А*А=А или В+В=В). Имеют место и законы поглощения:

• А+(А*В)=А;
• А*(А+В)=А;
• А*(неА+В)=А*В.

Есть два закона склеивания:

• (А*В)+(А*В)=А;
• (А+В)*(А+В)=А.

Упрощать логические выражения несложно, если знать законы булевой алгебры. Все перечисленные в этом разделе статьи законы можно проверить опытным путем. Для этого стоит открыть скобки по законам математики.

Пример 1

Мы изучили все особенности упрощения логических выражений, теперь необходимо закрепить свои новые знания на практике. Мы предлагаем вам разобрать совместно три примера из школьной программы и билетов единого государственного экзамена.

В первом примере нам нужно упростить выражение: (С*Е)+(С*неЕ). Первым делом мы обращаем свое внимание на то, что и в первой, и во второй скобке есть одна и та же переменная С, предлагаем вам вынести ее за скобки. После проделанной манипуляции мы получаем выражение: С*(Е+неЕ). Ранее мы рассмотрели закон исключения третьего, применим его относительно данного выражения. Следуя ему, мы можем утверждать, что Е+неЕ=1, следовательно, наше выражение принимает вид: С*1. Полученное выражение мы можем еще упростить, зная, что С*1=С.

Пример 2

Следующее наше задание будет звучать так: чему будет равно упрощенное логическое выражение не(С+неЕ)+не(С+Е)+С*Е?

Обратите внимание, в данном примере есть отрицание сложных выражений, от этого стоит избавляться, руководствуясь законами де Моргана. Применив их, мы получим выражение: неС*Е+неС*неЕ+С*Е. Мы опять наблюдаем повторение переменной в двух слагаемых, выносим ее за скобки: неС*(Е+неЕ)+С*Е. Опять применяем закон исключения: неС*1+С*Е. Вспоминаем, что выражение «неС*1» равняется неС: неС+С*Е. Далее предлагаем применить распределительный закон: (неС+С)*(неС+Е). Применяем закон исключения третьего: неС+Е.

Пример 3

Вы убедились в том, что на самом деле очень просто упростить логическое выражение. Пример №3 будет расписан менее подробно, постарайтесь сделать его самостоятельно.

Упростите выражение: (D+Е)*(D+F).

1. D*D+D*F+E*D+E*F;
2. D+D*F+E*D+E*F;
3. D*(1+F)+ E*D+E*F;
4. D+ E*D+E*F;
5. D*(1+E)+E*F;
6. D+E*F.

Как видите, если знать законы упрощения сложных логических выражений, то данное задание никогда не вызовет у вас затруднений.