Алгебра высказываний – точная наука, не дающая компромиссов. Чтобы решить примеры с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и т. д., можно построить таблицу истинности в прикладной программе Excel. Она оснащена набором логических функций, позволяющих автоматизировать и облегчить процесс нахождения результата.
Математическая логика: основные понятия
Основателем формальной логики считают Аристотеля. В XVII в. Г. Лейбниц предложил вводить символы для определения высказываний. Д. Буль закрепил усвоенные знания и впервые обозначил предложения символами.
Схематически «ИСТИНА» замещается 1, а «ЛОЖЬ» – 0.
Под высказыванием понимают любое повествовательное предложение, дающее какую-либо информацию и способное принимать значение истинности или ложности. В алгебре логики отвлекаются от смысловой нагрузки предложений и рассматривают только логические значения.
Под отрицанием понимают новое выражение, принимающее значение истины в случае его ложности и наоборот.
Конъюнкцией двух переменных называют новое предложение, принимающее значение истинности в случае одновременного обозначения «1» и ложности в остальных ситуациях.
Под дизъюнкцией двух высказываний понимают новое выражение, принимающее значение «ЛОЖЬ» только при одновременном наличии «0» и «ИСТИНА» в остальных вариациях.
Импликацией двух переменных называют новое предложение, в котором:
- если посылка истинна, а следствие ложно, то выражение равняется «0»;
- высказывание равняется «1» в остальных случаях.
Под эквиваленцией двух переменных понимают новое высказывание, принимающее значение истинности только в случае одинаковости элементов. Иначе предложение равняется «0».
Логические значения выражений принято оформлять в табличном виде. Есть и другое название у такого рода информации. Говорят, для высказывания нужно построить таблицу истинности. В ней указываются первоначальные значения для всех переменных, а потом вычисляется результат всего выражения.
Алгоритм реализации вычислений в логических операциях
Чтобы построить таблицу истинности, необходимо знать, в каком порядке выполняются действия. В выражении, где несколько операндов, вычисление осуществляется в следующем порядке:
- инверсия (отрицание);
- конъюнкция (логическая функция в Excel «И»);
- дизъюнкция (булев оператор в Excel «ИЛИ»);
- импликация (следствие);
- эквиваленция.
Существуют еще две операции, но для них приоритет не определен:
- штрих Шеффера;
- стрелка Пирса.
Алгоритм вычислений меняется, если выражение заключено в скобки.
Порядок построения табличной формы для логических операндов в Excel
Прежде чем находить значение выражения, нужно изучить понятие формулы алгебры логики. Определение гласит, что это сложное выражение, состоящее из простейших высказываний, соединенных между собой логическими операндами.
Пример 1. Построить таблицу истинности для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Пример 2. Дана формула алгебры логики. Построить таблицу истинности. Примеры в качестве образца даны ниже.
Пример 3. Как построить таблицу истинности в Excel, если дана формула алгебры логики в словесном описании. Высказывание: «Если треугольник – равносторонний, то все его ребра равны или все его углы равны».
Для начала необходимо разобрать составное предложение на минимальные элементы:
- Первая часть выражения: А = «треугольник равносторонний».
- Вторая: В = «все стороны фигуры равны».
- Третья: С = «все углы треугольника равны».
После этого составляется выражение и решается в программном пакете Excel.
При составлении таблиц истинности важно помнить о порядке выполнения операций.
