Как найти площадь ромба? Чтобы дать ответ, сначала следует разобраться, что мы считаем ромбом.
Во-первых, это четырёхугольник. Во-вторых, он имеет все четыре равные стороны. В-третьих, его диагонали в точке пересечения перпендикулярны. В-четвёртых, эти диагонали точкой пересечения разделяются на равные части. В-пятых, эти же диагонали разделяют углы ромба на две равные части. В-шестых, в сумме два угла, которые прилежат к одной из сторон, составляют развёрнутый угол, то есть 180 градусов. А если говорить попросту, то ромб – это скошенный квадрат.
Если взять квадрат, стороны которого скреплены подвижно, и легко потянуть его за два противолежащих угла, то квадрат потеряет свою прямоугольность и превратится в ромб. Поэтому ромб с прямыми углами – это и есть самый настоящий квадрат.
Первыми ввели понятие о ромбе Герое и Папп Александрийский, математики Древней Греции. Слово «ромб» с греческого можно перевести как «бубен».
Чтобы найти площадь ромба, стоит учесть, что ромб – это параллелограмм. А площадь параллелограмма можно найти, перемножив между собой основание, то есть сторону, и высоту.
Для доказательства этого положения, следует опустить из вершин верхних углов ромба перпендикуляры. Например, дан ромб QWER. Из вершин верхних углов Q и W опущены перпендикуляры QT и WY. Причём перпендикуляр QT опустится на сторону RE, а перпендикуляр WY окажется на продолжении этой стороны.
Таким образом, получился новый четырёхугольник QWYT с параллельными сторонами и прямыми углами, который, исходя из сказанного, можно храбро назвать прямоугольником.
Площадь этого прямоугольника находится перемножением стороны и высоты. Теперь нам нужно доказать, что площадь получившегося прямоугольника по площади соответствует данному условием ромбу.
Рассматривая полученные при дополнительном построении треугольники QYR и WET, можно сказать, что они равны по катету и гипотенузе. Ведь катетами в треугольниках являются проведённые перпендикуляры, которые в то же время являются и сторонами получившегося прямоугольника. А гипотенузы – это стороны ромба.
Ромб состоит из суммы площади треугольника QYR и трапеции QYEW. Полученный прямоугольник состоит из той же трапеции QYEW и треугольника WET, площадь которого равна значению площади треугольника QYR. Отсюда сам собой напрашивается вывод: значение площади ромба QWER соответствует значению площади прямоугольника QWYT.
Теперь становится понятным, как найти площадь ромба по стороне и его высоте: их нужно перемножить.
Можно найти площадь ромба, зная угол ромба и сторону. Нужно только узнать, чему равен синус угла, и умножить его на удвоенную сторону. Найти синус можно при помощи калькулятора или по таблице Брадиса.
Иногда, говоря о том, как найти площадь ромба, используют синус угла и радиус вписанной в него окружности, которая обязательно является максимальной.
Однако чаще всего высчитывают площадь ромба через диагонали. Из данной формулы вытекает, что площадь равна полупроизведению диагоналей.
Доказать это довольно просто, рассмотрев два треугольника QWE и ERQ, которые получились при проведении в ромбе одной диагонали. Эти треугольники равны по трём сторонам или по основанию и двум прилежащим углам.
Проведя в ромбе вторую диагональ, мы получим высоты в этих треугольниках, так как диагонали пересекаются в точке X под углом в 90 градусов. Площадь треугольника QWE равна произведению QE, что является одной диагональю, на WX – половину второй диагонали, делённому на два.
Теперь на вопрос, как найти площадь ромба, ответ ясен: полученное выражение следует увеличить вдвое. Для удобства алгебраического приведения этого выражения можно одну диагональ обозначить буквой z, а вторую – буквой u. Получаем:
2( z Х 1/2u : 2)= z Х 1/2u, что как раз и выходит – полупроизведение диагоналей.
