Зачастую при решении задач нужно узнать, делится ли то или иное число на заданную цифру без остатка. Но каждый раз делить его очень долго. К тому же велика вероятность допустить ошибку в расчетах и уйти от правильного ответа. Для того чтобы избежать этой проблемы, были найдены признаки делимости на основные простые или однозначные числа: 2, 3, 9, 11. Но что делать, если нужно произвести деление на другую, большую цифру? Например, как рассчитать признак делимости на 15? Ответ на этот вопрос мы постараемся найти в данной статье.
Как сформулировать признак делимости на 15?
Если для простых чисел признаки делимости хорошо известны, то что делать с остальными?
Если число не является простым, то его можно разложить на множители. Например, 33 – это произведение 3 и 11, а 45 – 9 и 5. Существует свойство, согласно которому число делится на данное без остатка в случае, если его можно разделить и на тот, и на другой множитель. Это значит, что любое большое число можно представить в виде простых, и уже исходя из них, формулировать признак делимости.
Итак, нам нужно узнать, можно ли разделить данное число на 15. Для этого рассмотрим его подробнее. Число 15 можно представить, как произведение 3 и 5. Значит, чтобы число делилось на 15, оно должно быть кратно одновременно 3 и 5. Это и есть признак делимости на 15. В дальнейшем мы рассмотрим его подробнее и сформулируем точнее.
Как узнать, что число делится на 3?
Вспомним признак делимости на 3.
Число делится на 3, если сумма его цифр (количество единиц, десятков, сотен и так далее) делится на 3.
Так, например, необходимо узнать, какие из этих чисел можно разделить на 3 без остатка: 76348, 24606, 1128904, 540813.
Конечно, можно просто разделить данные числа в столбец, но это займет немало времени. Поэтому мы воспользуемся признаком делимости на 3.
- 7 + 6 + 3 + 4 + 8 = 28. Число 28 не делится на 3, значит и 76348 не делится на 3.
- 2 + 4 + 6 + 0 + 6 = 18. Число 18 можно разделить на 3 — значит, и данное число делится на 3 без остатка. Действительно, 24 606 : 3 = 8 202.
Таким же образом проанализируем остальные числа:
- 1 + 1 + 2 + 8 + 9 + 4 = 25. Число 25 не делится на 3. Значит, 1 128 904 не делится на 3.
- 5 + 4 + 0 + 8 + 1 + 3 = 21. Число 21 делится на 3, а это значит, что 540 813 делится на 3. (540 813 : 3 = 180 271)
Ответ: 24 606 и 540 813.
Когда число делится на 5?
Однако признак делимости числа на 15 также включает в себя не только делимость на 3, но и кратность пяти.
Признак делимости на 5 таков: число делится на 5, если оно оканчивается на 5 или на 0.
Например, нужно найти числа кратные 5: 11 467, 909, 670, 840 435, 67 900
Числа 11 467 и 909 не делятся на 5.
Числа 670, 840 435 и 67 900 оканчиваются на 0 или 5, а значит, кратны 5.
Примеры с решением
Итак, теперь мы можем полноценно сформулировать признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда сумма его цифр кратна 3, а последней цифрой является или 5, или 0. Важно отметить, что оба этих условия должны выполняться одновременно. Иначе мы получим число кратное не 15, а только 3 или 5.
Признак делимости чисел на 15 очень часто нужен для решения контрольных и экзаменационных заданий. Например, зачастую в базовом уровне ЕГЭ по математике встречаются задачи, основанные на понимании именно этой темы. Рассмотрим некоторые их решения на практике.
Задача 1.
Среди чисел найдите те, которые делятся на 15.
9 085 475; 78 545; 531; 12 000; 90 952
Итак, для начала отбросим те числа, которые очевидно не удовлетворяют нашим критериям. Это 531 и 90 952. Несмотря на то, что сумма 5+3+1 = 9 делится на 3, число оканчивается на единицу, а значит, не подходит. То же самое касается 90 952, которое оканчивается на 2.
9 085 475, 78 545 и 12 000 удовлетворяют первому критерию, теперь проверим их на соответствие второму.
9+0+8+5+4+7+5 = 38, 38 не делится на 3. Значит, это число является лишним в нашем ряду.
7+8+5+4+5 = 29. 29 не кратно 3, не удовлетворяет условиям.
А вот 1+2 = 3, 3 делится на 3 нацело, это значит, что именно это число и является ответом.
Ответ: 12 000
Задача 2.
Трехзначное число С больше 700 и делится на 15. Запишите наименьшее такое число.
Итак, по признаку делимости на 15 данное число должно заканчиваться на 5 или 0. Так как на нужно самое маленькое из возможных, возьмем 0 – это будет последней цифрой.
Так как число больше 700, то первой может быть цифра 7 или больше. Помня, что нам следует найти наименьшее значение, выбираем 7.
Чтобы число делилось на 15, должно выполняться условие 7+х+0 = число, кратное 3, где х – количество десятков.
Итак, 7+х+0 = 9
Х = 9 -7
Х = 2
Число 720 – искомое.
Ответ: 720
Задача 3.
Вычеркните из числа 3426578 любые три цифры так, чтобы получившееся число было кратно 15.
Во-первых, искомое число должно оканчиваться на цифру 5 или 0. Значит, последние две цифры – 7 и 8 нужно вычеркнуть сразу.
Остается 34265.
3+4+2+6+5 = 20, 20 не делится на 3. Ближайшее кратное 3 число – это 18. Для того, чтобы получить его, нужно отнять 2. Вычеркиваем цифру 2.
Получается 3465. Проверим свой ответ, 3465 : 15 = 231.
Ответ: 3465
В данной статье были рассмотрены основные признаки делимости на 15 с примерами. Этот материал должен помочь ученикам с решением заданий такого типа и подобных им, а также понять алгоритм работы с ними.
