Формула Бернулли – одно из фундаментальных уравнений теории вероятностей, позволяющее находить вероятности событий в независимых испытаниях. Она была выведена швейцарским математиком Якобом Бернулли в XVIII веке и с тех пор широко используется в науке и практике.
Несмотря на кажущуюся простоту, формула Бернулли таит в себе глубокий физический смысл и позволяет моделировать сложные случайные процессы – от метания монеты до радиоактивного распада атомов. В этой статье мы разберем основные положения теории Бернулли и посмотрим, какое удивительное уравнение скрывается за простым математическим выражением.
Что такое независимые испытания
Независимые испытания - это испытания, в которых вероятность наступления некоторого события в каждом отдельном испытании не зависит от результатов других испытаний. Например, при последовательном подбрасывании монеты вероятность выпадения орла или решки при каждом броске одинакова и не зависит от того, что выпадало ранее.
- При независимых испытаниях вероятность события при каждом испытании одинакова
- Результат одного испытания никак не влияет на результат других испытаний
Основным примером независимых испытаний является многократное подбрасывание одной и той же монеты или игральной кости. Вероятность выпадения определенной стороны монеты или определенного числа очков на кости при каждом броске остается неизменной. Другие примеры независимых испытаний: вытаскивание шаров из урны с возвращением, броски по мишени и т.д.
| Примеры независимых испытаний | Примеры зависимых испытаний |
| Подбрасывание монеты | Последовательное извлечение карт из колоды |
| Броски игрального кубика | Цепочка химических реакций |
В случае независимых испытаний результат каждого испытания не влияет на вероятность события в последующих испытаниях. Это важное свойство позволяет применять теорему умножения вероятностей для нахождения вероятностей сложных событий, состоящих из нескольких независимых испытаний.
Вывод формулы Бернулли
Формула Бернулли позволяет найти вероятность наступления некоторого события ровно k раз в n независимых испытаниях. Она была выведена швейцарским математиком Якобом Бернулли.
- Рассмотрим событие A, которое может произойти в каждом испытании с вероятностью p. Тогда вероятность того, что оно не произойдет, равна q = 1 - p.
- Пусть P(k) - вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз в n испытаниях. Это означает, что оно произойдет в k испытаниях и не произойдет в оставшихся n-k испытаниях.
- Так как испытания независимы, можно применить теорему умножения вероятностей: P(k) = C(n,k)p^kq^(n-k).
- Где C(n,k) - число сочетаний из n элементов по k, показывает, сколькими способами можно выбрать k испытаний из n.
Таким образом, получаем знаменитую «формулу Бернулли», с помощью которой можно считать вероятности для независимых событий: P(k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
Эта формула очень удобна и применяется в различных задачах на нахождение вероятностей событий при независимых испытаниях. Например, при подсчете вероятностей различных исходов в игральных костях, монетах, лотереях и т. д. Она позволяет детально проанализировать возможные случайные события.
Применение формулы на практике
Формула Бернулли широко используется для решения задач на нахождение вероятностей в самых разных областях: от простых игр (орел-решка, кости) до производственных процессов и надежности систем.
- Найти вероятность определенного числа попаданий при стрельбе по мишени.
- Подсчитать вероятность выпадения конкретных комбинаций в игральных кубиках.
- Определить оптимальное количество резервных деталей в системе для обеспечения ее работоспособности.
Рассмотрим несколько примеров.
Задача 1. Стрелок производит 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.8. Найти вероятность того, что стрелок попадет ровно 7 раз.
Решение. Используем формулу Бернулли: P(7) = C(10, 7)0.8^70.2^3 = 1200.327680.008 = 0.31619
Задача 2. Бросают две игральные кости по 5 раз. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 5 ровно два раза.
P(сумма очков = 5 при одном броске) = 1/9.
Тогда по формуле Бернулли:", "P(2) = C(5,2) * (1/9)^2 * (8/9)^3 = 0.2944
Задача 3. Для работы прибора требуется 3 исправных детали из 5. Вероятность отказа каждой детали за сутки составляет 0.1. С какой вероятностью прибор проработает сутки без отказов?
Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность исправной работы одной детали p = 0.9.", "P(3) = C(5,3)0.9^30.1^2 = 0.6561
Таким образом, с вероятностью 0.6561 прибор проработает без отказов в течение суток.
Физический смысл формулы
Формула Бернулли, несмотря на свою простоту и математическую строгость вывода, обладает глубоким физическим смыслом. Рассмотрим более подробно компоненты этой формулы и их интерпретацию.
P(k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)
- P(k) - искомая вероятность того, что событие A произойдет в ровно k испытаниях из n.
- C(n,k) - число сочетаний из n по k - показывает, сколькими способами можно выбрать k испытаний из n, в которых произойдет событие A.
- p^k - вероятность того, что событие A произойдет в каждом из этих k испытаний.
- q^(n-k) - вероятность того, что событие A не произойдет в оставшихся n-k испытаниях.
Таким образом, с физической точки зрения формула Бернулли выражает:
- Комбинаторику возможных вариантов распределения k успехов среди n испытаний
- Вероятности реализации этих вариантов, исходя из вероятностей элементарных событий в каждом испытании
- Произведение этих величин дает итоговую вероятность интересующего нас события
Другими словами, формула Бернулли устанавливает связь между:
- Комбинаторными характеристиками задачи
- Вероятностными характеристиками отдельных испытаний
- Искомой интегральной вероятностью сложного события
Это комбинирование «дискретики» (перебора вариантов) и «стохастики» (случайности) в рамках одной формулы и составляет ее физический смысл.
Связь с распределением Бернулли
Формула Бернулли тесно связана с одноименным распределением вероятностей - биномиальным или распределением Бернулли. Это распределение описывает вероятности различных исходов в серии повторных независимых испытаний с двумя исходами.
Например, при 10 подбрасываниях монеты вероятность выпадения k орлов задается распределением Бернулли с параметрами n = 10 и p = 0.5. Математическое ожидание и дисперсия этого распределения выражаются через p и q.
Таким образом, формула Бернулли позволяет найти отдельные вероятности в рамках распределения Бернулли и численно оценить его параметры на основе физических характеристик задачи.
