Рассмотрим квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0. Как известно, для нахождения его корней используется формула: x1,2 = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a. Под корнем в этой формуле подразумевается дискриминант D = b2 - 4ac.
Что происходит, если дискриминант равен нулю, то есть D = 0? Это означает, что под корнем стоит ноль. Извлекать корень из нуля математически некорректно. Значит, стандартная формула для нахождения корней квадратного уравнения в данном случае неприменима.
Сколько корней, если дискриминант равен 0
При равенстве дискриминанта нулю квадратное уравнение имеет ровно один корень, который называется кратным корнем. Физически это означает, что график функции касается оси абсцисс в точке этого корня.
Алгебраически кратный корень можно найти, разделив обе части уравнения на x: x(ax + b) = 0. Отсюда видно, что кратный корень равен x = -b/a.
Например, возьмем уравнение x2 - 2x - 3 = 0. Его дискриминант равен D = 22 - 4·1·(-3) = 0. Значит, существует единственный кратный корень x = 2/1 = 2.
Утрата решений
Интересный момент: если дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Но с приближением дискриминанта к нулю эти корни сближаются, а при D = 0 сливаются в один.
То есть при равенстве дискриминанта нулю происходит потеря одного из корней уравнения. Физически это выглядит как схождение двух ветвей параболы в одну точку.
Деление на ноль
Еще один важный момент: если дискриминант равен нулю, коэффициент a также обязан быть ненулевым. Иначе получится выражение 0/0, что не имеет математического смысла.
Например, рассмотрим уравнение 0·x2 + 2x + 1 = 0. Его дискриминант D = 22 - 4·0·1 = 0, но a = 0. Такое уравнение не имеет решений вовсе.
Поэтому, говоря о равенстве дискриминанта нулю, всегда подразумевается ненулевой коэффициент a. И только при выполнении этого условия речь идет о кратном корне.
Критические точки
Таким образом, ситуация дискриминанта, равного нулю, имеет весьма критический, пограничный смысл. Она означает потерю решений уравнения и касание графика функции оси абсцисс.
Поэтому точка единственного корня, возникающего при D = 0, называется критической. В ней происходит качественное изменение свойств графика функции. Это важно учитывать при анализе квадратных уравнений и соответствующих им парабол.
Геометрическая интерпретация
Рассмотрим геометрический смысл ситуации, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Из курса алгебры известно, что графиком квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 является парабола. Причем, если a > 0, парабола открыта вверх, а если a < 0 - вниз.
Как уже говорилось, при положительном дискриминанте парабола пересекает ось OX в двух точках - это два корня уравнения. Но по мере уменьшения дискриминанта эти точки сближаются. И если дискриминант равен нулю - парабола касается оси OX только в одной точке.
Эта единственная точка касания и есть кратный корень уравнения. Видно, что геометрически ситуация D=0 означает вырождение двух различных корней в один кратный.
Другие примеры
Давайте рассмотрим еще несколько примеров квадратных уравнений, у которых дискриминант равен нулю, и найдем их кратные корни.
Возьмем уравнение 2x2 - 4x + 1 = 0. Его дискриминант D = (-4)2 - 4·2·1 = 0. Кратный корень x = -(-4)/(2·1) = 2.
Теперь рассмотрим уравнение -x2 + 2x + 1 = 0. Здесь D = 22 - 4·(-1)·1 = 0. Отсюда кратный корень x = -2/(-1) = 2.
И последний пример: -2x2 + 4x - 1 = 0. Дискриминант равен нулю, кратный корень x = -4/(-2) = 2.
Видим, что во всех случаях получился один и тот же кратный корень, равный 2. Это иллюстрирует вырождение различных корней в один при D = 0.
Поведение функций
Критический характер ситуации дискриминанта, равного нулю, проявляется также в поведении функции y = ax2 + bx + c.
Если дискриминант положителен, функция имеет два различных экстремума (максимум и минимум). При D = 0 экстремумы сливаются в одну критическую точку - точку перегиба.
Таким образом, здесь также наблюдается потеря свойств функции и критическое изменение ее поведения. Это важно учитывать при анализе функций и построении их графиков.
Вырожденные случаи
Иногда говорят, что при дискриминанте, равном нулю, квадратное уравнение находится в вырожденном случае. Это подчеркивает потерю им одного из корней и критический переход от двух решений к одному.
Вырожденные случаи требуют особого внимания, так как в них происходит качественное изменение аналитических и геометрических свойств рассматриваемых объектов - уравнений, функций, графиков.
Поэтому условие дискриминанта, равного нулю, имеет принципиальное значение для понимания поведения квадратных уравнений и парабол.
Применение в физике
Рассмотрим применение квадратных уравнений и случая дискриминанта, равного нулю, в физике. Одним из примеров может служить определение скорости тела при равноускоренном движении.
Известно, что координата тела при этом движении выражается формулой S = S0 + V0·t + at2/2, где S0 - начальная координата, V0 - начальная скорость, a - ускорение, t - время.
Если тело движется из начальной точки со скоростью V0 и за время t проходит путь S, можно записать: S = V0·t + at2/2. Приравнивая скорость к нулю, получим квадратное уравнение: V0·t - at2/2 = 0.
Его дискриминант равен нулю, следовательно, существует единственный кратный корень t = 2V0/a. Он дает время движения тела, за которое оно остановится.
Задачи с параметрами
Интересные ситуации возникают при решении квадратных уравнений, содержащих параметры. Рассмотрим уравнение ax2 + bx + c = 0, где a, b, c - параметры.
Выражение для дискриминанта имеет вид: D = b2 - 4ac. При каких значениях параметров дискриминант будет равен нулю? Это произойдет, если выполнено соотношение: b2 = 4ac.
Таким образом, подбирая параметры a, b, c, удовлетворяющие данному уравнению, можно получать квадратные уравнения с кратным корнем. Это позволяет исследовать свойства таких уравнений.
Дискриминант и факторизация
Существует интересная взаимосвязь между дискриминантом и факторизуемостью квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
Известно, что если дискриминант положителен, трехчлен разлагается на два линейных множителя. А если дискриминант равен нулю, трехчлен вырождается в квадрат одного линейного множителя.
Это еще одно подтверждение критического характера ситуации D = 0: происходит потеря одного из множителей трехчлена и вырождение факторизации.
Неравенства и системы
Условие дискриминанта, равного нулю, встречается не только в уравнениях. Оно может присутствовать и в неравенствах, и в системах уравнений.
Например, можно рассмотреть неравенство вида D ≥ 0, которое накладывает ограничения на значения переменных. Или систему из двух уравнений, одно из которых имеет дискриминант, равный нулю.
Такие задачи также требуют внимательного анализа и учета критического характера ситуации D = 0 для получения полного решения.
