Формулы приведения - одна из важнейших, но в то же время сложных тем школьного курса математики. Давайте разберемся, что это такое, зачем они нужны и как правильно применять эти полезные формулы при решении задач.
Что такое формулы приведения и зачем они нужны
Формулы приведения - это формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) произвольного угла через соответствующие функции некоторых стандартных, более простых углов.
Обычно в качестве таких стандартных углов берутся углы от 0 до 90 градусов. Формулы приведения "приводят" функцию от произвольного угла к функции от острого угла.
Это очень удобно, так как работать с острыми углами проще. Формулы приведения позволяют:
- Упростить сложные тригонометрические выражения, содержащие функции от разных углов
- Вычислить значение тригонометрической функции от любого угла по значению этой функции от острого угла
- Решать тригонометрические уравнения и неравенства
Короче говоря, без знания и умения применять формулы приведения не обойтись ни при решении задач по тригонометрии, ни при подготовке к ЕГЭ.
Основные формулы приведения
Вот основные формулы приведения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
| Формула приведения | Синус | Косинус | Тангенс | Котангенс |
| α = π/2 ± β | cos β | sin β | -ctg β | -tg β |
| α = π ± β | sin β | -cos β | tg β | -ctg β |
| α = 3π/2 ± β | -cos β | -sin β | ctg β | tg β |
| α = 2π ± β | sin β | cos β | tg β | -ctg β |
Здесь β - острый угол от 0 до 90 градусов.
Как запомнить формулы приведения
"формулы приведения" кажутся на первый взгляд очень сложными для запоминания. На самом деле, есть несколько эффективных способов запомнить эти формулы раз и навсегда.
"Правило лошади"
Один из самых известных способов - так называемое "правило лошади". Суть его в следующем:
- Нарисуйте тригонометрическую окружность и отметьте на ней расположение углов 0, π/2, π, 3π/2.
- Представьте, что при движении по окружности против часовой стрелки вы "киваете" головой вверх-вниз, как лошадь. Это означает - меняем функцию на кофункцию. При движении по часовой - "качаете" головой вправо-влево. Значит - функцию не меняем.
- Знак функции берем из соответствующей четверти для острого угла.
Таким образом, если к углу прибавляется π/2 или вычитается 3π/2, то функция меняется на кофункцию. Если прибавляется π или 2π - функция не меняется.
Использование тригонометрического круга
Еще один способ - использовать тригонометрический круг, чтобы визуально представлять движение точки при изменении угла. Это поможет определить, как меняется функция.
Мнемонические фразы
Придумайте мнемонические фразы, чтобы легче запомнить формулы. Например:
- "Пи на два - синус не меняется, а косинус знак меняет"
- "Через каждые пол-пи тангенс в котангенс прыгает"
Главное - фраза должна быть нелепой и смешной, тогда вы точно ее запомните.
Многократное применение
И конечно, чаще применяйте формулы приведения при решении задач. Это лучший способ их запомнить.
Как применять формулы приведения при решении задач
Давайте разберем, как использовать формулы приведения на практике.
Алгоритм применения формул приведения:
- Определите, является ли данное выражение формулой приведения. Для этого посмотрите, есть ли в угловом аргументе слагаемое, кратное π/2.
- Выберите подходящую формулу приведения из таблицы выше.
- Замените функцию в выражении на соответствующую функцию от острого угла согласно формуле.
- Определите знак получившейся функции, исходя из расположения острого угла в нужной четверти.
Пример 1. Вычислите sin(π + 60°)
Решение:
- Данное выражение является формулой приведения, так как к углу π прибавляется острый угол 60°.
- Подходящая формула: sin(π ± β) = sin β.
- Применяем формулу: sin(π + 60°) = sin 60°.
- Угол 60° находится во второй четверти, где sin > 0.
- Ответ: sin(π + 60°) = sin 60° = 0,866.
Пример 2. Упростите выражение tg(π/2 - α).
Решение:
- Данное выражение - формула приведения, т.к. вычитается угол π/2.
- Подходящая формула: tg(π/2 - β) = -ctg β.
- Применяем формулу: tg(π/2 - α) = -ctg α.
- Знак "-" сохраняем.
- Ответ: tg(π/2 - α) = -ctg α.
Как видите, ничего сложного. Главное - выбрать правильную формулу и не ошибиться со знаком.
Как самостоятельно выводить формулы приведения
Умение выводить формулы приведения - это высший пилотаж владения темой. Давайте разберем, как это делается.
Например, выведем формулу sin(π + β) = sinβ.
- Пусть имеем угол (π + β).
- Представим его в виде разности: (π + β) = π - (-β).
- Воспользуемся формулой sin(a - b) = синацосб - cosasinb.
- Подставим π и -β:
-
sin(π + β) = sinπcos(-β) - cosπsin(-β)
- Так как sinπ = 0, cosπ = -1, получаем:
-
sin(π + β) = -sin(-β)
- По определению sin(-β) = sinβ.
- Окончательно:
sin(π + β) = sinβ
Аналогично можно вывести и другие формулы приведения для различных случаев.
Где еще могут пригодиться формулы приведения
"формулы приведения" находят применение не только при решении задач по тригонометрии, но и в других областях математики.
Например, они часто используются:
- В стереометрии при нахождении расстояний, углов между прямыми и плоскостями и т.д.
- В физике при описании колебательных и волновых процессов
- При доказательстве тригонометрических тождеств
- При решении различных нестандартных задач, требующих преобразования тригонометрических выражений
Так что знание формул приведения - это универсальный навык, который пригодится даже после школы.
Полезные советы по применению формул приведения
В завершение давайте перечислим полезные советы, которые помогут вам увереннее применять формулы приведения на практике:
- Регулярно тренируйтесь в применении формул, решая соответствующие задачи
- Используйте таблицу формул при решении задач для наглядности
- Не путайте, когда функция меняется, а когда - нет
- Внимательно следите за знаками функций в разных четвертях
- При решении задач обязательно поясняйте свои действия
- Не бойтесь использовать формулы приведения на ЕГЭ - они вам точно пригодятся!
Главное - постоянно практиковаться. Математику считают сложным предметом, но если учить формулы, то оказывается, что она вовсе не такая уж и непонятная. А если что-то не дается, всегда поможет учитель.
