Геометрия - наука вечная и прекрасная. Уже древние мудрецы размышляли о тайнах треугольников. А знаете ли вы, как доказать, что два треугольника равны? Это важный навык для изучения геометрии. В этой статье мы разберем три проверенных способа доказательства равенства треугольников. Получите ценные знания и рекомендации от эксперта!
1. Первый способ: доказательство по двум сторонам и углу между ними
Первый признак гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Давайте рассмотрим конкретный пример с пошаговым доказательством.
Здесь у треугольника ABC сторона AC равна стороне A1C1 треугольника A1B1C1. Также сторона AB равна стороне A1B1. И угол CAB равен углу CA1B1.
Чтобы доказать, что эти треугольники равны, выполним следующие шаги:
- Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы совместить вершины A и A1.
- Так как сторона AC равна стороне A1C1, а угол CAB равен углу CA1B1, то сторона AC совместится со стороной A1C1, а вершины C и C1 совпадут.
- По той же причине сторона AB совместится со стороной A1B1, а вершины B и B1 совпадут.
- Раз вершины B и B1 совпали, значит вершины C и C1 тоже совпали. Стало быть, треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместились.
- По определению равенства треугольников, если треугольники полностью совмещаются, значит они равны.
Так мы доказали, что треугольники ABC и A1B1C1 по первому признаку равны.
Типичные ошибки
Рассмотрим распространенные ошибки при использовании первого признака:
- Неправильно выбраны элементы для сравнения. Например, выбраны сторона, прилежащая к ней, и противолежащий ей угол вместо стороны, угла между сторонами и второй стороны.
- Ошибка в определении равенства выбранных элементов треугольников.
- Некачественно выполнен эскиз для доказательства — неправильно обозначены углы или путаются метки вершин при их совмещении.
Чтобы избежать этих ошибок:
- Внимательно изучите формулировку первого признака.
- При составлении эскиза обозначьте сравниваемые стороны и углы одинаково в обоих треугольниках.
- Аккуратно выполняйте пошаговое доказательство, следите за правильным соотнесением вершин.
Практические советы
При использовании первого признака равенства удобно строить эскиз так, чтобы общий угол находился в вершине пересечения сторон треугольников.
Такой прием позволит быстро и наглядно провести пошаговое доказательство наложением.
Примеры задач
- Докажите, что треугольники PQR и P1Q1R1 равны, если PQ = P1Q1, QR = Q1R1 и угол QPR = углу Q1P1R1.
Решение: Треугольники равны по первому признаку.
- В треугольниках ABC и A1B1C1 имеем: AB = A1C1, BC = B1C1, ∠ABC = ∠A1B1C1. Докажите, что эти треугольники равны.
Решение: Треугольники равны по первому признаку.
Первый первый признак, довольно прост в применении. Главное, четко представлять, что два треугольника равны, если у них совпадают: Две стороны Угол между этими сторонами
2. Второй способ: доказательство по стороне и двум прилежащим углам
Второй признак гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим конкретный пример с пошаговым доказательством.
Здесь в треугольнике ABC сторона BC равна стороне B1C1 треугольника A1B1C1. Угол ABC равен углу AB1C1. И угол BCA равен углу B1C1A1.
Выполним пошаговое доказательство, что треугольники равны:
- Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы совместить вершины B и B1.
- Так как сторона BC равна стороне B1C1, а углы ABC и AB1C1 равны, то сторона BC совместится со стороной B1C1, а вершины C и C1 совпадут.
- По той же причине, угол BCA совместится с углом B1C1A1. Значит, сторона AC совместится со стороной A1C1, а вершины A и A1 совпадут.
- Раз вершины A, B и C каждого треугольника совпали, треугольники полностью совместились.
- По определению, совмещенные треугольники равны.
Мы доказали по второму признаку, что данные треугольники равны.
