В данной статье мы подробно рассмотрим несколько ключевых аспектов, связанных с радиусом окружности, описанной около треугольника. Разберем основные формулы и методы расчета радиуса для разных типов треугольников, приведем примеры и полезные рекомендации.
Общие сведения
Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, проходящая через все три вершины данного треугольника. Центр такой окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Для нахождения радиуса R описанной около общего треугольника ABC с известными сторонами a, b, c используется формула:
где S - площадь треугольника ABC.
Радиус окружности описанной вокруг треугольника для частных случаев
Рассмотрим также формулы для радиуса описанной окружности в случае некоторых специальных видов треугольников.
- Прямоугольный треугольник. Если треугольник ABC является прямоугольным, то формула для радиуса R описанной окружности упрощается. Здесь c - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC.
- Равнобедренный треугольник. Для равнобедренного треугольника ABC (с равными боковыми сторонами a) формула радиуса R описанной окружности имеет вид: где b - основание равнобедренного треугольника ABC.
- Равносторонний треугольник. В случае правильного (равностороннего) треугольника ABC со стороной a расчет радиуса R описанной окружности производится по формуле:
Радиус окружности описанной вокруг треугольника
Как видно из приведенных выше формул, радиус описанной окружности напрямую зависит от параметров самого треугольника - его сторон, углов или площади. Это позволяет для конкретного данного треугольника рассчитать радиус соответствующей ему описанной окружности.
Однако на практике зачастую бывает необходимо решать обратную задачу - по известному радиусу описанной окружности определить параметры самого треугольника. Для таких случаев существуют обратные формулы, позволяющие рассчитать стороны или углы треугольника через радиус описанной вокруг него окружности.
Радиус окружности описанной вокруг треугольника
- Обратные задачи. Как уже упоминалось ранее, на практике часто возникает необходимость по известному радиусу R описанной окружности определить параметры самого треугольника. Рассмотрим решение таких обратных задач подробнее.
- Определение сторон треугольника. Из общей формулы для радиуса описанной окружности можно получить выражение для нахождения стороны a треугольника ABC: аналогично записываются формулы для вычисления сторон b и c.
- Определение углов треугольника. Для нахождения величины угла A треугольника ABC по известному радиусу R описанной окружности используется следующая формула. По аналогии находят углы B и C.
Построение треугольника
Зная радиус описанной окружности, можно построить сам треугольник. Для этого из центра O окружности радиуса R проводят произвольным образом три радиуса под углами A, B и C. Точки пересечения этих радиусов с окружностью и будут вершинами искомого треугольника ABC. Для лучшего усвоения материала рассмотрим несколько примеров задач на вычисление радиуса описанной окружности и параметров треугольника.
Задача 1
Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами 3 и 4. Найти радиус описанной окружности.
Решение. По теореме Пифагора находим гипотенузу: c = 5. Подставляем в формулу для прямоугольного треугольника: R = c / 2 = 5 / 2 = 2,5.
Ответ: 2,5.
Задача 2
Дано: R = 5 см. Построить треугольник ABC, для которого данная окружность является описанной.
Решение: Из центра O окружности радиуса 5 см проводим произвольно три радиуса под некоторыми углами. Точки пересечения радиусов с окружностью - искомые вершины треугольника ABC.
