Конические сечения – удивительные кривые, с которыми мы постоянно сталкиваемся в природе, науке и технике. Это эллипсы, параболы, гиперболы и вырожденные случаи – точки и прямые. Давайте разберемся, откуда берутся эти замечательные линии и где они применяются. Также рассмотрим их геометрические свойства, историю открытия Аполлонием Пергским и Менехмом, применение в астрономии, технике, архитектуре. Проверим методы построения конических сечений и роль в создании законов Кеплера о движении планет.
Происхождение термина
Термин "коническое сечение" появился благодаря древнегреческому математику Менехму.
, который в IV веке до н.э. заметил, что если сечь прямой круговой конус плоскостью, то в сечении получаются разные кривые в зависимости от угла наклона секущей плоскости.
Эти кривые Менехм классифицировал на три основных типа:
- эллипс
- парабола
- гипербола
При некоторых особых положениях секущей плоскости возникают также вырожденные случаи конических сечений:
- точка (вершина конуса)
- одна или две пересекающиеся прямые
Основные свойства
Конические сечения описываются уравнениями второй степени. Например, в декартовых координатах общее уравнение конического сечения имеет вид:
F(x,y) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Здесь A, B, C, D, E, F – некоторые коэффициенты. В зависимости от их значений получаем разные типы кривых.
Важной характеристикой конического сечения является его эксцентриситет e . Он показывает, насколько сильно кривая отклоняется от формы окружности. Для окружности e = 0, для эллипса 0 < e < 1, для параболы e = 1, а для гиперболы e > 1.
Эллипс
Эллипс представляет собой замкнутую кривую, по форме напоминающую овал. У него есть две важные точки - фокусы, обозначаемые F1 и F2 . Главное свойство эллипса состоит в том, что сумма расстояний от любой точки эллипса до этих фокусов является постоянной. Это позволяет простым способом начертить эллипс - натянув нить длиной 2а между фокусами и обводя кончиком карандаша (см. рисунок).
Благодаря замкнутости и симметричной форме эллипс широко используется в технике. Например, многие детали машин имеют форму эллипса - шестеренки, кулачки, эллиптические шатуны и т.д. В оптике с помощью эллиптических зеркал и линз фокусируют световые пучки. А в астрономии по эллиптическим орбитам вокруг Солнца движутся планеты и некоторые кометы согласно законам Кеплера.
По сравнению с окружностью, форма эллипса может сильно варьироваться в зависимости от эксцентриситета e . Эллипс вытягивается тем сильнее, чем ближе e к единице. При e = 0 эллипс превращается в окружность.
Парабола
В отличие от эллипса, парабола является открытой кривой, уходящей в бесконечность. Она имеет всего одну важную точку - фокус F. Главное свойство параболы заключается в том, что она является геометрическим местом точек, равноудаленных от фокуса F и некоторой прямой, называемой директрисой. Именно это свойство параболы используется при ее построении - с помощью натянутой нити и линейки (см. рисунок).
Бесконечность и однонаправленность параболы определяет ее широкое применение для описания направленных процессов. Например, траектории снарядов, пуль, комет и метеоритов, попавших в гравитационное поле Солнца или планет, близки к параболическим. Причем чем больше начальная скорость тела и чем дальше оно улетает, тем точнее его траектория описывается уравнением параболы.
В отличие от эллипса, форма параболы однозначно определяется значением эксцентриситета, равным 1. Поэтому все параболы подобны друг другу, отличаясь только масштабом.
Гипербола
В отличие от эллипса и параболы, гипербола имеет две ветви, расположенные в разных полостях конуса. Она также является открытой кривой, уходящей в бесконечность в обе стороны.
Для гиперболы определяют два фокуса - F1 и F2. Ее главное свойство состоит в том, что разность расстояний от любой точки гиперболы до фокусов является величиной постоянной. Это позволяет строить гиперболу, используя разность расстояний (см. рисунок).
Из-за своей бесконечности и наличия двух ветвей гипербола часто используется для моделирования расходящихся процессов - волн, пучков заряженных частиц, конических поверхностей в технике и др.
Сечения конической поверхности
Рассмотрим более подробно, как получаются различные конические сечения, если сечь коническую поверхность плоскостью под разными углами. Различают прямой и наклонный круговой конус.
Пусть имеется прямой конус с осью, перпендикулярной плоскости основания. Если секущая плоскость также перпендикулярна основанию конуса, то сечением является окружность (частный случай эллипса).
Если же секущая плоскость наклонена под углом к оси конуса, то в зависимости от этого угла получаются эллипс, парабола или гипербола.
Конические сечения в начертательной геометрии
В курсе начертательной геометрии подробно изучаются различные способы построения конических сечений. Например, построение эллипса, параболы и гиперболы при помощи натянутых нитей между фокусами или вокруг фокусов и директрис.
Также рассматриваются способы нахождения конических сечений как пересечения многогранников или цилиндров. Изучение этих методов важно для инженеров и конструкторов, которым приходится чертить детали в форме конических сечений.
Применение в технике
Благодаря своим уникальным геометрическим свойствам конические сечения нашли широкое применение в самых разных областях науки и техники.
В частности, конические поверхности используются повсеместно в машиностроении - для изготовления зубчатых колес, подшипников, сопел, формовочных инструментов. Эллиптические детали применяются в двигателях, компрессорах, насосах.
Особенности параболы и гиперболы успешно используются в оптике, радиотехнике, антенной технике для фокусировки и отражения волн. Также конические сечения находят многочисленные применения в строительстве благодаря высокой прочности и устойчивости конструкций, имеющих такую форму.
История открытия
Конические сечения были впервые описаны в трудах древнегреческих математиков. Предположительно первым их исследовал Менехм в IV веке до н.э. Он использовал свойства параболы и гиперболы для решения задачи о рациональном приближении квадратного корня.
Наиболее фундаментальный трактат о конических сечениях принадлежит Аполлонию Пергскому (III век до н.э.) - "Конические сечения". В нем впервые были систематизированы свойства этих кривых и даны им названия - эллипс, парабола и гипербола.
Законы Кеплера о движении планет
Особое значение конические сечения приобрели после открытия И. Кеплером законов движения планет. Согласно этим законам, планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Это наблюдение Кеплера позволило Ньютону сформулировать закон всемирного тяготения и теоретически обосновать движение небесных тел по коническим траекториям под действием сил притяжения, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния.
Построение конических сечений
Для построения конических сечений разработано множество геометрических и аналитических методов. К геометрическим относятся способы построения с помощью циркуля и линейки, нитей, отражателей.
В аналитической геометрии коническое сечение задается уравнением 2-й степени с двумя переменными. Решая такие уравнения графически или аналитически, можно получать точки искомой кривой на плоскости.
Конические сечения в искусстве
Благодаря своим эстетическим свойствам и символизму конические сечения нашли широкое применение в архитектуре, изобразительном и декоративно-прикладном искусстве.
Эллиптические арки и купола придают зданиям плавные обтекаемые формы. Гиперболоидные башни отличаются легкостью и изяществом. Параболические конструкции используются для перекрытия больших пролетов без дополнительных опор.
Конические сечения часто можно увидеть в орнаментах, ювелирных изделиях, одежде. Их гармоничные линии вдохновляли художников на создание шедевров живописи и графики.
