Правильный восьмиугольник, или октагон, - удивительная геометрическая фигура, обладающая множеством уникальных свойств. Этот многоугольник с восемью сторонами издавна привлекал внимание ученых, философов и архитекторов.

Основные свойства правильного восьмиугольника
Итак, давайте разберемся, что представляет собой правильный восьмиугольник и какие у него есть основные свойства.
Правильный восьмиугольник - это выпуклый многоугольник, у которого:
- все 8 сторон равны между собой;
- все 8 углов равны 135°;
- диагонали делят его на 16 равных треугольников.
Интересный факт: если соединить середины сторон правильного восьмиугольника, то получится вписанный в него квадрат.
У правильного восьмиугольника есть ось симметрии, проходящая через каждую из вершин и середину противоположной стороны. Всего у него 8 осей симметрии.
Благодаря своей правильной форме с одинаковыми сторонами и углами, октагон часто использовался в архитектуре. Его можно увидеть в постройках Древней Греции, арабских мечетях, средневековых замках и даже в христианских храмах.
Например, восьмиугольную форму имеет купол храма Гроба Господня в Иерусалиме, башня Ветров в Афинах, баптистерий во Флоренции.
Формулы для вычисления площади правильного восьмиугольника
Существует несколько разных способов найти площадь правильного восьмиугольника
. Рассмотрим основные формулы.

Эта формула выводится из разбиения восьмиугольника на 8 равных треугольников и суммирования их площадей. Она довольно простая, но требует знать длину стороны.
Формула через радиус R описанной окружности:
При выводе этой формулы используются свойства касательной из любой точки окружности к этой окружности. Нужно знать радиус описанной окружности.
Аналогично можно записать формулу через радиус вписанной в восьмиугольник окружности r.
Какая формула подойдет - зависит от того, какие исходные данные о восьмиугольнике заданы в конкретной задаче.
Пошаговый алгоритм вычисления площади
Чтобы гарантированно правильно найти площадь правильного восьмиугольника, можно использовать следующий алгоритм:
- Записать все известные параметры восьмиугольника (сторона, радиусы окружностей и т.д.)
- Выбрать подходящую формулу в соответствии с заданными данными
- Подставить числовые значения в формулу
- Выполнить необходимые математические действия и вычислить площадь
- Проверить правильность полученного ответа
Если сомневаетесь в выборе формулы или верности решения - не стесняйтесь обращаться за помощью к опытным педагогам!
В следующем разделе мы разберем несколько конкретных примеров применения этого алгоритма на практике с подробным решением.
Примеры задач на вычисление площади правильного восьмиугольника
Чтобы лучше разобраться в применении формул, давайте решим несколько практических задач на вычисление площади правильного восьмиугольника
.
Пример 1: Дана сторона правильного восьмиугольника, равная 6 см. Найдем его площадь.
Решение: Применяем формулу через сторону, ответ: S = 93 см2
Пример 2
Дан периметр правильного восьмиугольника, равный 80 см. Найти площадь.
Решение:
- Находим сторону: a = P / 8 = 80 / 8 = 10 см
- Подставляем в формулу через сторону: S = 2*(1+√2)*a2 = 2*(1+√2)*102 = 200 см2
Ответ: S = 200 см2
Пример 3
Дан радиус описанной окружности R = 4 см. Вычислить площадь восьмиугольника.
Решение:
Используем соответствующую формулу:
S = 128 см2
Задачи повышенной сложности
Рассмотрим несколько более сложных задач.
- В квадрат со стороной 10 см вписан правильный восьмиугольник. Найти его площадь.
- Сторона правильного восьмиугольника равна диагонали квадрата со стороной 5 см. Вычислить площадь.
- Площадь правильного шестиугольника равна площади правильного восьмиугольника. Найти сторону последнего, если сторона шестиугольника 10 см.
Подобные задачи требуют дополнительных рассуждений, связывающих данные условия и искомое значение. Решите их самостоятельно!