Двойные интегралы на первый взгляд кажутся сложными для понимания и вычисления. На самом деле, придерживаясь определенного алгоритма и имея практический опыт, их вычисление не так уж и трудно.
Что такое двойной интеграл и где он применяется
Двойной интеграл - это интеграл от функции двух переменных по некой области на плоскости или в пространстве. Обычно двойной интеграл записывают так:
Где f(x,y) - функция двух переменных x и y, D - область интегрирования, dx и dy - элементарные площадки.
Двойной интеграл имеет важный геометрический смысл - он позволяет найти объем, площадь, статистические моменты и другие величины.
Например, если D - некоторая плоская область, а f(x,y)=1, то двойной интеграл численно равен площади этой области D. А если функция f(x,y,z) интегрируется по некоторому телу в пространстве и равна 1, то результатом будет объем этого тела.
По сравнению с обычным интегралом двойной интеграл:
- позволяет работать с функциями двух и более переменных;
- дает больше возможностей для приложений в геометрии, физике;
- но и требует больше вычислительных затрат, особенно при ручном счете.
Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику
Рассмотрим самый простой вариант - когда область интегрирования D является прямоугольником. Например:
В этом случае двойной интеграл записывается так:
Здесь x меняется от a до b, а y - от c до d. Чтобы вычислить такой интеграл, его нужно представить в виде повторного (вложенного) интеграла:
Сначала вычисляется внутренний интеграл по y от c до d, где x считается константой. Полученная функция одной переменной x интегрируется от a до b.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах по произвольной области
Если область интегрирования не является прямоугольником, а имеет произвольную форму, вычисления усложняются.
Например, пусть дан двойной интеграл по области D, ограниченной параболой и прямой (см. рисунок).
Чтобы вычислить такой интеграл, нужно:
- Построить область интегрирования D на чертеже;
- Выбрать порядок интегрирования (направление движения внутри области);
- Расставить соответствующие пределы интегрирования;
- Перейти к повторному интегралу;
- Вычислить сначала внутренний, а затем внешний интеграл.
Основная сложность при этом - правильный выбор пределов интегрирования исходя из границ области D. Это приходит с опытом решения подобных задач.
Другой подход - использование замены переменных, чтобы привести произвольную область к более простому виду.
Двойной интеграл в полярных координатах
Иногда бывает удобно перейти к полярной системе координат. Например, если область интегрирования имеет форму круга, сектора или кольца.
Для перехода от декартовых координат x, y к полярным r, φ используется следующая формула:
Здесь J(r,φ) - якобиан преобразования.
Порядок вычисления двойного интеграла в полярных координатах такой же, как и в декартовых. Сначала интегрируем по внутренней переменной (чаще φ), затем по внешней (r).
Основная сложность при этом - правильный выбор пределов интегрирования исходя из границ области в полярных координатах.
Пример вычисления двойного интеграла в полярных координатах
Рассмотрим конкретный пример вычисления двойного интеграла в полярных координатах по области, представляющей собой круговой сектор (см. рисунок).
Перепишем исходный интеграл в полярных координатах:
Пределы интегрирования по r от 0 до 1 (радиус окружности), а по φ от 0 до π/4 (центральный угол сектора).
Вычисляя внутренний интеграл по φ, получаем:
Подставляем результат во внешний интеграл по r и находим ответ:
Вычисление площади плоской фигуры
Одно из важных применений двойных интегралов - вычисление площадей плоских фигур. Если область D лежит в плоскости xy, а f(x,y)=1, то двойной интеграл даст площадь этой области:
Например, найдем площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2 и прямой y=2x:
- Строим область на чертеже
- Записываем двойной интеграл
- Выбираем пределы интегрирования и вычисляем
В итоге получаем, что площадь равна 2 единицам.
Вычисление объема тела вращения
Если взять тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, то его объем можно вычислить с помощью двойного интеграла.
Например, пусть есть кривая y=f(x) на интервале [a,b], вращающаяся вокруг оси Ox. Тогда объем полученного тела вращения равен:
Здесь 2πy dy - площадь элементарного цилиндра, полученного вращением dx вокруг оси Oy. Интегрируя такие цилиндры по всей плоской фигуре, получаем искомый объем тела.
Нахождение центра масс системы
С помощью двойных интегралов можно также находить центры масс различных объектов. Рассмотрим задачу.
Дана поверхностная плотность σ=x+y на прямоугольнике 0≤x≤1, 0≤y≤3. Требуется определить координаты центра масс.
Координаты центра масс xl и yl находят из выражений:
Подставляя σ=x+y, вычисляя интегралы и деля на общую массу, получим координаты центра масс (0.75, 1.5).
Другие приложения двойных интегралов
Кроме уже рассмотренных примеров, двойные интегралы используются для решения множества других прикладных задач:
- Нахождение статических и динамических моментов тел;
- Определение координат центра тяжести и моментов инерции;
- Расчет потенциальных полей (гравитационного, электростатического и др.);
- Нахождение работы силовых полей по заданным кривым;
- Вычисление механических характеристик неоднородных стержней и др.
Потенциальное поле и его характеристики
Рассмотрим применение двойных интегралов для анализа потенциальных полей, например гравитационного или электростатического. Пусть имеем плотность распределения масс или зарядов \rho(\vec r).
Потенциал поля в точке \vec r определяется двойным интегралом:
Другие физические характеристики (напряженность поля, поток поля через поверхность) также выражаются через двойные интегралы от \rho(\vec r).
Расчет элементов конструкций переменного сечения
Часто в технике встречаются конструкционные элементы, сечение которых меняется по длине (переменное сечение): криволинейные балки, оболочки, арки и др.
Для расчета таких конструкций на прочность используется дифференциальное уравнение изгиба балок переменного сечения, которое содержит двойной интеграл:
где EJ(x) - жесткость балки, q(x) - распределенная нагрузка, M(x), Q(x) - изгибающий момент и поперечная сила.
Численное решение дифференциальных уравнений
Двойные интегралы применяются в различных численных методах решения дифференциальных уравнений, например при реализации метода конечных элементов.
Суть метода заключается в замене уравнений в частных производных на систему алгебраических уравнений относительно значений искомой функции в узлах сетки. При выводе этой системы используются двойные интегралы.
Такой подход позволяет моделировать различные физические процессы (теплопроводность, диффузия, волновая динамика), которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.
Другие применения двойных интегралов
Как видно из рассмотренных примеров, область применения двойных интегралов весьма широка.
Они используются для решения множества задач гидродинамики и аэродинамики, в теории упругости, для расчета напряженно-деформированного состояния в механике деформируемого твердого тела, в электродинамике, квантовой механике, экономико-математическом моделировании и др.