Почему важно знать о среднем линейном отклонении и уметь его считать? Этот нехитрый статистический показатель поможет вам быстро оценить степень однородности данных и насколько среднее арифметическое репрезентативно представляет всю совокупность.
Что такое среднее линейное отклонение и зачем его считать
Среднее линейное отклонение - это показатель вариации, который измеряет в среднем, насколько значения наблюдений отклоняются от их среднего уровня. Иными словами, это средняя величина отклонений.
Зачем нужно считать среднее линейное отклонение:
- Чтобы оценить однородность данных и насколько хорошо средняя величина представляет всю совокупность
- Для сравнения вариации в разных выборках или группах
- В качестве первого приближения оценки риска инвестиций (чем выше среднее линейное отклонение, тем выше риск)
Формула среднего линейного отклонения и алгоритм расчета
Среднее линейное отклонение вычисляется по следующей формуле:
Где:
- а - среднее линейное отклонение
- Хi - значение i-го наблюдения
- X̅ - среднее арифметическое всех наблюдений
- n - количество наблюдений
Алгоритм расчета среднего линейного отклонения:
- Найти среднее арифметическое выборки
- Вычислить отклонение каждого значения от среднего
- Взять абсолютные значения этих отклонений (по модулю)
- Сложить полученные абсолютные отклонения
- Разделить сумму абсолютных отклонений на количество наблюдений
Пример расчета среднего линейного отклонения в Excel
Рассмотрим пример расчета среднего линейного отклонения в Excel на конкретных данных. Предположим, у нас есть выборка с данными о зарплатах в некой компании:
| 23500 | 26500 | 28300 |
| 30100 | 32900 | 25100 |
Чтобы найти среднее линейное отклонение, сделаем следующее:
- Средняя зарплата =SUBTOTAL(1,B2:G2)/6 = 27100
- Вычислим отклонение каждого значения от среднего с помощью формулы =ABS(B2-B8). Получим абсолютные отклонения:
- Сложим абсолютные отклонения =B9+C9+D9+E9+F9+G9 = 3400
- Разделим сумму отклонений на n = 3400/6 = 567
Итак, среднее линейное отклонение по зарплатам здесь равно 567.
Как интерпретировать полученное значение
Полученное значение среднего линейного отклонения можно интерпретировать следующим образом:
- Чем ближе значение к нулю, тем данные более однородные, меньше разброс. Если СЛО стремится к нулю, то практически все значения в выборке равны среднему.
- Чем выше получилось среднее линейное отклонение, тем сильнее варьируют наблюдения относительно среднего уровня. Значит данные в выборке разнородные с большим разбросом.
Также можно сравнивать среднее линейное отклонение для различных выборок. Большее значение будет означать и бо́льшую вариацию данных.
Среднее линейное отклонение vs СКО
Среднее линейное отклонение нередко сравнивают со средним квадратическим отклонением (СКО). Как было показано выше, эти показатели выполняют сходные функции - характеризуют разброс данных вокруг среднего значения.
Однако есть и различия:
- СКО более чувствительно к выбросам, а среднее линейное отклонение является более робастной мерой
- Значения СКО всегда больше, чем среднего линейного отклонения
- Если данные распределены нормально, то СКО предпочтительнее, так как обладает удобными математическими свойствами
- Если нет оснований предполагать нормальное распределение или есть выбросы, то лучше использовать среднее линейное отклонение
Когда использовать среднее линейное отклонение
Из всего выше сказанного можно сформулировать основные случаи, когда имеет смысл применять показатель среднего линейного отклонения:
- Для быстрой прикидочной оценки однородности данных
- При наличии выбросов, аномальных наблюдений
- Если нет оснований предполагать нормальное распределение
- Для упрощенного анализа финансовых рисков (оценки волатильности)
- При необходимости интуитивно понятной интерпретации степени вариации
В таких ситуациях среднее линейное отклонение может дать более адекватную оценку разброса данных, чем среднее квадратичное.
Ограничения метода
При всей полезности, у среднего линейного отклонения есть и недостатки, о которых стоит помнить:
- Менее точная статистическая оценка по сравнению со средним квадратичным отклонением
- Зависит от единицы измерения и масштаба данных, поэтому затруднительно для сравнения групп с разными шкалами
- Не позволяет строить доверительные интервалы и проверять статистические гипотезы о параметрах генеральной совокупности
Таким образом, среднее линейное отклонение не заменяет полноценный статистический анализ с использованием дисперсии, СКО, доверительных интервалов и проверки гипотез. Однако для быстрой прикидочной оценки степени вариации это удобный и простой в использовании инструмент.
Среднее линейное отклонение для анализа временных рядов
Одно из важных применений среднего линейного отклонения - это анализ временных рядов, в частности для оценки волатильности финансовых и экономических показателей.
Например, чтобы оценить волатильность курса валют, акций, процентных ставок и других переменных, используют именно среднее абсолютное и относительное линейное отклонение. Это связано с тем, что такие ряды часто имеют выбросы и не подчиняются нормальному закону.
Коэффициент среднего линейного отклонения
Помимо абсолютного значения, может быть полезен относительный коэффициент среднего линейного отклонения, равный отношению СЛО к среднему уровню:
Ксло = СЛО / X̅
Такой коэффициент позволяет нивелировать влияние масштаба исходных данных и дает возможность сравнивать размах вариации в разных выборках.
Взвешенное среднее линейное отклонение
Если данные имеют неравномерную значимость, то можно рассчитать взвешенное среднее линейное отклонение, где fi - вес i-го наблюдения. Таким образом более важные данные оказывают большее влияние на значение среднего отклонения.
Статистика среднего абсолютного отклонения
Из теории статистики и теории вероятностей известно, что если значения Xi независимы и одинаково распределены со средним μ , то среднее линейное отклонение приближенно равно:
СЛО ≈ σ √(π/2)
где σ - среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности.
Таким образом, по выборочному среднему линейному отклонению можно делать прикидочную оценку σ - одной из важнейших статистик в теории вероятностей и математической статистике.
Вариация признака, размах и средние
Среди основных статистик, характеризующих вариацию признака, можно выделить:
- Размах вариации
- Межквартильный размах
- Среднее линейное отклонение
- Среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение)
Как видно, среднее линейное отклонение занимает здесь одно из центральных мест как показатель размаха колебаний и вариации признака.
При этом среднее линейное отклонение тесно связано с другими статистиками центральной тенденции - средней, медианой, модой.
Среднее линейное отклонение и регрессионный анализ
В задачах регрессионного анализа среднее линейное отклонение можно использовать для проверки адекватности модели.
Например, после построения линейной модели z = a + bx рассчитывается среднее отклонение фактических значений y от расчетных ŷ. Если это отклонение велико, значит разброс данных плохо описывается линейной зависимостью.
Отклонения в анализе структуры совокупности
При анализе социально-экономических и других совокупностей важно изучать не только средние тенденции, но и отклонения от них. Это позволяет лучше понять внутреннюю структуру.
Например, большие отклонения доходов населения от среднего уровня свидетельствуют о значительном социальном расслоении.
Выбор показателя отклонений
При анализе данных важно выбрать наиболее подходящий показатель колеблемости - среднее линейное vs среднее квадратичное отклонение.
Как правило, если нет специальных требований или ограничений, предпочтение отдается СКО. Однако во многих задачах преимущества среднего линейного отклонения перевешивают.
Среднее линейное отклонение в задачах оптимизации
Еще одно возможное применение среднего абсолютного отклонения - использование его в качестве целевой функции в задачах оптимизации.
Например, можно минимизировать среднее линейное отклонение прогноза от факта или отклонение расчетных значений от экспериментальных.
Среднее линейное отклонение временных рядов
Рассмотренные ранее примеры анализа волатильности с помощью среднего линейного отклонения можно обобщить на случай временных рядов.
Пусть имеются данные вида (y1, y2,..., yn), где yi - наблюдаемые значения в момент времени ti. Тогда среднее линейное отклонение этого ряда вычисляется по стандартной формуле:
Отсюда видно, что СЛО дает средний размах колебаний ряда yi относительно его среднего уровня. Это важный показатель волатильности при анализе временных рядов в экономике и финансах.
Выбросы и средние линейные отклонения
Наличие выбросов может существенно исказить значение среднего квадратичного отклонения, но гораздо меньше влияет на среднее линейное.
Поэтому при выбросах предпочтительнее использовать именно СЛО для оценки отклонений. Для дальнейшего анализа выбросы следует идентифицировать и, возможно, удалить из выборки.
Сравнение групповых средних отклонений
Среднее линейное отклонение удобно использовать для сравнения разброса данных в разных группах.
Например, можно сопоставить СЛО зарплат по отделам организации. Большее отклонение будет означать и большую вариативность заработков внутри подразделения.
Факторный анализ отклонений
При наличии предположений о факторах, влияющих на отклонения показателя от среднего, можно провести дисперсионный или регрессионный анализ.
Это позволит оценить вклад различных факторов в линейное отклонение, что важно для понимания источников вариации.
Теперь вы знаете, что среднее линейное отклонение - это показатель вариации, который измеряет в среднем, насколько значения наблюдений отклоняются от их среднего уровня. Иными словами, это средняя величина отклонений.
Зачем нужно считать среднее линейное отклонение:
- Чтобы оценить однородность данных и насколько хорошо средняя величина представляет всю совокупность
- Для сравнения вариации в разных выборках или группах
- В качестве первого приближения оценки риска инвестиций (чем выше среднее линейное отклонение, тем выше риск)
Если данные имеют неравномерную значимость, то можно рассчитать взвешенное среднее линейное отклонение, где fi - вес i-го наблюдения. Таким образом более важные данные оказывают большее влияние на значение среднего отклонения.
