Что такое возведение числа в четвертую степень? Это операция, при которой число умножается само на себя четыре раза. Например, 2 в четвертой степени равно 2*2*2*2=16. Четвертая степень также называется биквадратом. В этой статье разберем, как вычислять сумму чисел, возведенных в четвертую степень, и где это применяется.
Понятие четвертой степени числа
Возведение числа в степень — это умножение числа на само себя заданное количество раз. Например, 32 = 3*3 = 9, 53 = 5*5*5 = 125.
Четвертая степень означает, что число умножается на себя четыре раза. То есть для числа А формула четвертой степени выглядит так:
А4 = А · А · А · А
Четвертая степень числа называется его биквадратом . Это связано с тем, что четвертая степень представляет собой произведение двух квадратов, то есть "дважды квадрат".
Примеры возведения в четвертую степень:
- 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
- 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
- 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000
Как видно из примеров, значение в четвертой степени всегда будет неотрицательным. Это одно из свойств возведения числа в четвертую степень.
Обратной операцией к возведению в степень является извлечение корня. Например, корень четвертой степени из 16 равен 2, потому что 24=16.
Формула биквадратов
Для нахождения суммы биквадратов используется следующая формула, выведенная из бинома Ньютона:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Где А и В — числа, которые возводятся в 4 степень, а затем складываются.
Найдем, например, сумму 43 + 23:
- А = 4, В = 2
- Подставляем значения А и В в формулу:
43 + 23 = (2А3 + 3А2В + 3АВ2 + В3)
- Вычисляем:
43 + 23 = (2*43 + 3*42*2 + 3*4*22 + 23)
- Результат: 256
Как видно, используя формулу можно достаточно легко найти сумму биквадратов двух чисел.
| А | 3 | 2 |
| В | 2 | 5 |
| Сумма А4 + В4 | 100 | 529 |
В таблице приведены примеры значений сумм биквадратов для разных А и В.
Примеры и задачи на вычисление суммы биквадратов
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих вычисление суммы четвертых степеней чисел и решение соответствующих задач.
Пример 1
Найдем сумму 33 + 43. Согласно формуле:
33 + 43 = (2·33 + 3·32·4 + 3·3·42 + 43)
Подставляя значения, получаем:
33 + 43 = (54 + 72 + 108 + 64) = 298
Пример 2
В мешке лежат шары двух размеров. Больших шаров в 8 раз больше, чем маленьких. Сумма четвертых степеней радиусов всех шаров равна 500 000. Найдите количество больших и маленьких шаров.
Решение:
- Пусть радиус большого шара = x
- Тогда радиус маленького шара = x/2 (в 2 раза меньше)
- Кол-во больших шаров = n
- Кол-во маленьких шаров = n/8
Далее составляем и решаем уравнение:
x4·n + (x/2)4·(n/8) = 500 000
Ответ: n = 32 шт. (больших шаров), n/8 = 4 шт. (маленьких шаров).
Задачи на вычисление суммы биквадратов
Сумма биквадратов чисел может встречаться при решении задач из разных областей:
- Геометрические задачи (объемы, площади)
- Физические задачи
- Комбинаторные задачи
- Алгебраические задачи
Применение суммы четвертых степеней
Помимо решения математических задач, вычисление сумм четвертых степеней используется в таких областях как:
- Статистика при обработке данных
- Физика при расчете характеристик процессов
- Теория вероятностей
Таким образом, умение находить сумму биквадратов важно как базовая математическая операция с множеством применений на практике.
