Прилежащие углы: что это такое?

Прилежащие углы - важное понятие геометрии, без знания которого невозможно решать многие задачи. Давайте разберемся, что это такое.

Определение прилежащих углов

Прилежащими называются углы, которые расположены рядом друг с другом и имеют общую сторону. Например, в треугольнике углы A и B являются прилежащими, так как имеют общую сторону AB. Углы B и C также прилежащие, потому что у них общая сторона BC.

Прилежащие углы могут быть как внутренними, так и внешними по отношению к фигуре. Главное, что они должны иметь общую сторону и располагаться рядом.

Отличие прилежащих углов от других:

• От вертикальных углов - не имеют общих вершин, только общую сторону
• От смежных углов - не обязательно дополняют друг друга до 180°

Итак, еще раз формальное определение:

Прилежащими углами называются два угла, имеющие общую сторону, расположенные по разные ее стороны.

Свойства прилежащих углов

У прилежащих углов есть важные свойства, знание которых помогает в решении задач.

Равенство при равных сторонах

Если в треугольнике две стороны равны, то и прилежащие к ним углы тоже равны. Это важное свойство позволяет находить неизвестные углы:

В данном равнобедренном треугольнике AB=AC, поэтому ∠B=∠C. Зная один из них, легко найти другой.

Неравенство при неравных сторонах

И наоборот, прилежащие углы при неравных сторонах не равны. Чем больше сторона, тем больше прилежащий к ней угол:

Это свойство используется при доказательствах и решении задач на неравенство.

Нахождение прилежащих углов

Прилежащие углы можно найти разными способами в зависимости от условия задачи:

1. По длинам сторон (с помощью теоремы косинусов)
2. По соотношению сторон и углов
3. С помощью формул для определенного вида треугольников

Рассмотрим подробнее на конкретных примерах.

Пример 1

Дан остроугольный треугольник ABC. TN - высота. Найти ∠B и ∠C.

Решение:

1. По теореме Пифагора находим гипотенузу AC:
2. AC^2 = AB^2 + BC^2
3. AC = √(5^2 + 12^2) = 13
4. Используем теорему косинусов:
5. cos(∠B) = (13^2 + 5^2 - 12^2) / (2*13*5) = 0.8
6. ∠B = arccos(0.8) = 37°

Аналогично находим ∠C = 53°. Ответ: ∠B = 37°, ∠C = 53°.

Как видно из примера, зная соотношение сторон и одного угла, можно найти прилежащие углы с помощью тригонометрических формул.

Применение при решении задач

Рассмотрим несколько примеров, где знание свойств прилежащих углов помогает в решении различных геометрических задач.

Вычисление площадей

Для вычисления площади многоугольника часто используют разбиение на треугольники. А в треугольниках удобно применять формулы с учетом прилежащих углов.

Например, для вычисления площади четырехугольника ABCD его можно разбить на два треугольника ABD и BCD с общей стороной BD. Далее используем формулы для площадей треугольников:

• S_ABD = (AB * AD * sin(∠ABD)) / 2
• S_BCD = (BC * CD * sin(∠BCD)) / 2

Прилежащие углы здесь удобно подставить для вычислений. Итого площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников.

Нахождение расстояний и высот

Часто нужно найти высоту или расстояние до недоступной точки. И здесь могут помочь прилежащие углы:

Известно расстояние AC и угол α. Требуется найти высоту h. По теореме синусов:

• AB / sin(∠ABC) = AC / sin(α)
• AB = AC * sin(∠ABC) / sin(α)
• h = AB * sin(90° - ∠ABC) = AB * cos(∠ABC)

Подставляя известные данные с учетом прилежащих углов, получаем результат.

Доказательство параллельности

Еще одно важное применение - использование равенства прилежащих углов при доказательстве параллельности прямых:

Здесь ∠1 = ∠2, так как AB || CD и они соответственные углы. Следовательно, ∠3 = ∠4, как прилежащие к равным сторонам треугольников. По признаку параллельности ΔABE || ΔCDE.

В заключение приведем пару любопытных исторических фактов, связанных с прилежащими углами:

• Теорема о равенстве прилежащих углов при равных сторонах была доказана еще в древние времена.
• Прилежащие углы часто фигурируют в задачах на вычисление расстояний до недоступных точек, например в астрономии или геодезии.

Другие интересные факты

Кроме исторических фактов, есть и другие любопытные моменты, связанные с прилежащими углами:

• Существуют оптические иллюзии с прилежащими углами, которые обманывают наше восприятие. Кажется, что углы разные по величине, хотя на самом деле они равны.
• При решении головоломок часто используют свойство равенства прилежащих углов. Например, нужно сложить фигуру из частей так, чтобы углы совпали.
• В архитектуре и строительстве при возведении различных конструкций приходится учитывать соотношения прилежащих углов для обеспечения прочности и устойчивости.

Занимательные задачи

Рассмотрим несколько интересных задач на прилежащие углы, которые наглядно демонстрируют их свойства и особенности:

Задача 1

Докажите, что ∠AEC = ∠DEB, несмотря на то, что треугольники AED и CBE разных размеров и форм.

Решение

Проведем CE. Тогда:

• AE = DE (стороны четырехугольника)
• ∠AEC и ∠DEB прилежащие к равным сторонам AE и DE
• Следовательно, по свойству прилежащих углов, ∠AEC = ∠DEB

Ответ: действительно, данные углы равны, несмотря на разный вид треугольников.

Задача 2

ABCD - выпуклый четырехугольник. Диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что если ∠ABD = ∠BDC, то AO = CO.

Решение

1. ∆ABD ~ ∆BDC (по условию равны углы ABD и BDC)
2. Следовательно, homologous sides пропорциональны
3. Отсюда: AB/BD = BC/BD
4. AB = BC
5. В четырехугольнике противоположные стороны равны (AB = CD)
6. Значит, в треугольнике ACO две стороны AO и CO равны
7. Следовательно, AO = CO

Из решения видно, что благодаря равенству прилежащих углов удалось доказать равенство диагоналей четырехугольника.