Унитарная матрица: свойства, применение, вычисление

Унитарные матрицы широко используются в квантовых вычислениях и других областях физики. Давайте разберемся, что это такое, какие у них свойства и где они применяются на практике.

1. Определение и основные свойства унитарной матрицы

Формальное определение унитарной матрицы таково: в линейной алгебре, унитарная матрица - это комплексная квадратная матрица, обратная к которой совпадает с ее эрмитово сопряженной.

Другими словами, для матрицы U с размерностью n x n выполняется равенство:

U^†U = UU^† = I

где I - единичная матрица размера n x n. Это условие эквивалентно ряду других:

• U обратима и U^-1 = U^†
• Столбцы и строки U образуют ортонормированный базис
• U сохраняет норму любого вектора при умножении
• U является нормальной матрицей
• Модуль определителя U равен 1

Из определения унитарной матрицы следует одно очень важное свойство - сохранение скалярного произведения векторов при умножении на U. Формально, для любых векторов x и y справедливо:

⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩

Это свойство широко используется в квантовой механике для описания унитарных преобразований квантовых состояний.

2. Элементарные построения унитарных матриц

Рассмотрим некоторые простые способы построения унитарных матриц различного вида.

2.1. 2x2 унитарная матрица

Общее выражение для 2x2 унитарной матрицы имеет вид:

U = [a b]
[-e^iφb^* e^iφa^*]

где выполняются соотношения:

• |a|² + |b|² = 1
• det(U) = e^iφ

Эта матрица зависит от 4 независимых параметров: модули и фазы элементов a, b, а также угол поворота φ.

2.2. Диагональная унитарная матрица

Если элементы матрицы U удовлетворяют |u_ii| = 1 и u_ij = 0 при i ≠ j, то такая диагональная матрица всегда унитарна. Например, для n=3:

U = [e^iα 0 0] [0 e^iβ 0] [0 0 e^iγ]

Диагональные унитарные матрицы используются для описания невзаимодействующих квантовых систем.

3. Вычисление функций от унитарной матрицы

Пусть U - произвольная унитарная матрица размера n x n. Рассмотрим некоторые способы вычисления различных функций от U.

3.1. Степени унитарной матрицы

Благодаря свойству U^-1 = U^†, вычисление степеней унитарной матрицы сводится к простым операциям умножения и эрмитова сопряжения. Например:

• U² = U · U
• U³ = U · U²
• ... и т.д.

Также справедливы равенства вида U^-n = (U^†)ⁿ.

3.2. Экспонента унитарной матрицы

Для вычисления экспоненты e^U удобно использовать разложение U в собственный базис:

U = VDV^†

где D - диагональная матрица собственных значений U. Тогда получаем простую формулу:

e^U = Ve^DV^†

3.5. Интегрирование и дифференцирование унитарной матрицы

Пусть U(t) - унитарная матрица, зависящая от параметра t. Тогда ее производная вычисляется стандартным образом:

U'(t) = dU(t)/dt

А интеграл от U(t) по t находится как:

∫U(t)dt = F(t)

где F(t) - первообразная, определяемая из условия F'(t) = U(t).

3.6. Численное приближение функций от унитарной матрицы

Для численного вычисления произвольной функции f(U) от большой унитарной матрицы U размера N x N (при N >> 1000) можно использовать метод тейлоровского ряда:

f(U) ≈ f(0)·I + f'(0)·U + (f''(0)/2!)·U² + ...

обрывая ряд на n-ом слагаемом при достаточно большом n ∼ 10–100. Точность такого приближения может быть весьма высокой.

4. Применение унитарных матриц на практике

Рассмотрим некоторые области, где унитарные матрицы находят применение.

4.1. Квантовая механика и квантовые вычисления

В квантовой механике унитарные матрицы используются для описания эволюции квантовых систем. Согласно постулату унитарности, временная эволюция замкнутой квантовой системы описывается унитарным оператором.

В квантовых вычислениях на унитарных матрицах основаны квантовые логические вентили, реализующие преобразование кубитов. Ключевыми являются однокубитовые повороты и двухкубитовое квантовое сцепление.

4.2. Обработка сигналов

Преобразование Фурье, используемое для анализа сигналов, можно представить в матричном виде с помощью унитарной матрицы преобразования Фурье. Это позволяет эффективно реализовывать быстрое преобразование Фурье.

4.3. Теория управления и робототехника

В задачах управления движением роботов часто используется понятие конфигурационного пространства. Переход между конфигурациями описывается унитарными матрицами.