Площадь правильного треугольника – вывод формулы из периметра

Правильный треугольник – удивительная геометрическая фигура, которая на первый взгляд кажется очень простой, но таит в себе много интересных свойств. Давайте разберемся, как найти площадь правильного треугольника, используя только данные о его периметре.

Основные определения

Для начала дадим несколько важных определений:

• Правильный треугольник – треугольник, у которого все стороны и все углы равны.
• Периметр треугольника – сумма всех его сторон.

• Площадь правильного треугольника – величина, выражающая размер поверхности, заключенной внутри данного треугольника.

Теперь посмотрим, каким образом площадь правильного треугольника связана с его периметром.

Вывод формулы площади через периметр

Рассмотрим правильный треугольник ABC, у которого все стороны равны a. Тогда периметр треугольника равен:

P = a + a + a = 3a

Опустим из вершины A высоту AH. Получим два прямоугольных треугольника AHB и AHC, которые будут равны друг другу, так как имеют общую высоту и основание.

По теореме Пифагора можем записать:

(AH)^2 + (HB)^2 = (AB)^2

Подставляя HB = HC = a/2, AB = a, получаем:

(AH)^2 + (a/2)^2 = a^2

Отсюда высота:

AH = a√3/2

Теперь найдем площадь всего треугольника ABC как сумму площадей двух прямоугольных треугольников AHB и AHC:

S_ABC = S_AHB + S_AHC = (AH * HB)/2 + (AH * HC)/2 = AH * a/2 + AH * a/2 = AH * a

Подставляя найденное значение AH, получаем искомую формулу:

S_ABC = (a√3/2) * a = a²√3/4

Итак, мы вывели, что площадь правильного треугольника равна квадрату стороны, умноженному на √3/4. Зная периметр такого треугольника, всегда можно найти площадь!

Применение формулы на практике

Давайте теперь разберем несколько примеров, демонстрирующих применение полученной формулы для нахождения площади правильного треугольника по известному периметру.

Задача 1. Периметр правильного треугольника равен 30 см. Найти его площадь.

Решение. Периметр P = 3a. Тогда сторона a = P/3 = 30/3 = 10 см. Подставляем в формулу площади: S = a²√3/4 = 10²√3/4 = 100√3/4 кв.см. Ответ: 100√3/4 кв.см.

Задача 2. Сторона правильного треугольника равна 13 см. Найти периметр и площадь.

Решение. Периметр P = 3a = 3 * 13 = 39 см. Площадь по формуле S = a²√3/4 = 13²√3/4 = 169√3/4 кв.см. Ответ: Периметр 39 см, площадь 169√3/4 кв.см.

Задача 3. В правильный треугольник со стороной 16 см вписана окружность. Найдите площадь вписанного треугольника.

Решение. Радиус r вписанной окружности = a√3/6 = 16√3/6 = 16/2 = 8 см. Сторона вписанного треугольника = 2r = 2*8 = 16 см. Подставляем в формулу: S = a^2√3/4 = 16^2√3/4 = 256√3 кв.см. Ответ: 256√3 кв.см

Как видно из решения задач, формула очень проста в использовании. Зная всего один параметр – периметр или сторону, можно легко рассчитать искомую площадь треугольника.

Особенности вычисления площади

При вычислении площади правильного треугольника важно помнить несколько особенностей:

1. Формула справедлива только для правильного треугольника. Если хотя бы одна сторона или один угол отличаются - нужно использовать другие формулы.
2. Неправильное слово "правильно" в названии фигуры может привести к ошибке. Правильно говорить "площадь правильного треугольника".
3. При нахождении площади вписанного правильного треугольника сначала нужно найти радиус вписанной окружности.

Геометрический смысл формулы

Давайте разберемся, в чем заключается геометрический смысл полученной нами формулы. Как мы видели, площадь правильного треугольника выражается через квадрат его стороны. Это можно объяснить тем, что при увеличении стороны в некоторое число раз, площадь возрастает в квадрат этого числа раз. То есть площадь прямо пропорциональна квадрату линейных размеров.

Историческая справка

Формула площади правильного треугольника через сторону или периметр была известна еще в древности. Первые упоминания о ней появляются в трудах древнегреческих математиков, таких как Пифагор, Евклид, Архимед.

Однако строгое математическое доказательство этой формулы впервые привел лишь Исаак Ньютон в 17 веке с использованием аппарата дифференциального и интегрального исчисления.

Применение формулы в стереометрии

Полученная формула для нахождения площади правильного треугольника применима не только в планиметрии, но и в стереометрии – при вычислении площадей поверхностей пространственных фигур.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду, у которой основанием является правильный треугольник со стороной а. Боковые грани также представляют собой правильные треугольники со стороной а.

Тогда площадь полной поверхности пирамиды можно легко найти как:

S = S_{основания} + 3*S_{боковой грани}

Подставляя формулы площадей, получим:

S = a²√3/4 + 3*a²√3/4 = 4*a²√3/4

Обратные задачи

Интересный тип задач – вычисление стороны или периметра правильного треугольника, если известна только его площадь. Это так называемые обратные задачи или задачи, решаемые «от конца».

Рассмотрим алгоритм решения на конкретном примере:

Задача. Площадь правильного треугольника равна 100 кв.см. Найти его периметр.

Решение. По формуле: S = a²√3/4. Выражаем сторону a: a = √4S/√3. Подставляя S = 100 кв.см, получим a = 20 см. Периметр P = 3a = 3*20 = 60 см.

Таким образом, периметр искомого треугольника равен 60 см.

Вместо заключения

В этой статье мы подробно разобрали тему нахождения площади правильного треугольника. Рассмотрели вывод формулы через периметр треугольника, примеры и особенности применения этой формулы на практике. Отдельное внимание уделено геометрическому смыслу полученных соотношений.