Овал представляет собой замкнутую кривую на плоскости, которая имеет форму вытянутого эллипса. Геометрически овал можно определить как многоугольник, у которого число сторон стремится к бесконечности, а все углы равны.
Свойства овала
Основными характеристиками овала являются его большая и малая оси. Большая ось проходит через центр овала, а малая ось перпендикулярна ей. Зная длины этих осей, можно найтиплощадь овалапо соответствующим формулам.
- Овал симметричен относительно своих осей
- У овала две вершины, расположенные на большой оси
- Касательная в любой точке овала перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку из центра овала
Вычисление площади овала
Существует несколько разных способов вычислить площадь овалав зависимости от известных параметров:
-
Если известны длины большой полуоси
aи малой полуосиbовала, то его площадь рассчитывается по формуле площади овала:
S = πabгде π ≈ 3,14
-
Если заданы радиусы кривизны
Rиrв вершинах овала, то формула площади имеет вид:S = π(R + r)l/2где
l- длина большей оси овала. -
При нахождении площади овала графическим способом его разбивают на много мелких фигур, сумма площадей которых и дает площадь овала.
| Большая полуось | a |
| Малая полуось | b |
| Эксцентриситет | e |
Зная основные свойства овала и формулы для вычисления его площади, можно без труда справиться с соответствующими задачами из школьного курса геометрии.
Применение
Овалы широко используются в архитектуре при проектировании арок, дверных и оконных проемов. Кроме того, траектория движения планет в Солнечной системе близка к овалу.
Вывод формулы площади овала
Для полного понимания, как была получена формула площади овала через полуоси, рассмотрим вывод этой формулы.
Пусть овал задан полуосями a и b. Разделим его на бесконечно малые элементарные секторы с центральным углом dφ. Тогда площадь каждого сектора равна:
dS = (πab/4a^2)·b^2·dφ
Просуммировав элементарные площади по всем секторам от 0 до 2π, получим общую площадь овала:
S = ∫(πab/4a^2)·b^2·dφ = (πab/4a^2)·b^2·∫dφ = (πab/4a^2)·b^2·2π = πab
Погрешность вычисления площади овала
При вычислении площади овала графическим методом всегда присутствует некоторая погрешность. Это связано с тем, что овал разбивается на конечное число многоугольников.
Чем меньше linear размеры этих многоугольников, тем выше точность вычисления площади. Предельным случаем является бесконечное увеличение числа многоугольников при стремлении их площадей к нулю.
Овалы в архитектуре
Арки, имеющие форму овала, называются овоидными. Их отличает плавный изгиб по сравнению с ломаной формой криволинейных арок.
Овоидные арки часто используют в постройках барокко и рококо. Наиболее известные примеры - церковь Святого Карла в Вене, Зеркальная галерея в Царском Селе.
Овалы Кассини
Овал Кассини - это один из четырех специальных случаев овала, открытый итальянским астрономом Джованни Кассини.
Его отличительной особенностью является постоянство произведения расстояний от двух фиксированных точек до варьирующейся точки на кривой. Это свойство используется в оптике.
Применение овалов
Помимо архитектуры, овалы находят широкое применение в технике. Например, овальные иллюминаторы используются на подводных лодках, а овоидные баки - для хранения жидкостей.
В биологии также встречаются структуры овальной формы - яйца птиц, клетки растений и некоторые микроорганизмы.
