Векторы широко используются в различных областях науки и техники - от математики и физики до инженерии и программирования. Умение находить координаты вектора - это важный базовый навык, который пригодится каждому. Давайте разберемся, как это делается!
Что такое вектор
Вектор - это направленный отрезок, который задается двумя точками. Например, на координатной плоскости вектор AB задан начальной точкой A и конечной точкой B.
У вектора есть длина (модуль) и направление. В отличие от обычного отрезка, вектор можно перемещать по плоскости или пространству, при этом его длина и направление не меняются.
Координаты вектора и координаты точки
Не путайте координаты вектора и координаты точки. Это совершенно разные вещи:
- Координаты точки - ее положение в системе координат, "адрес", который не меняется.
- Координаты вектора - представление вектора в виде суммы базисных векторов. Может меняться в зависимости от выбора начальной точки.
Нахождение координат вектора на плоскости
Допустим, на координатной плоскости задан вектор AB с началом в точке A(x1, y1) и концом в точке B(x2, y2). Как найти координаты этого вектора?
Существует простая формула:
AB = (x2 - x1, y2 - y1)Где x1, y1 - координаты начальной точки A; x2, y2 - координаты конечной точки B. Таким образом, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из соответствующей координаты конца вектора вычесть соответствующую координату начала вектора.
Пример
Найдем координаты вектора, заданного точками A(3, -2) и B(5, 1):
- Координаты точки A (начало вектора): x1 = 3, y1 = -2;
- Координаты точки B (конец вектора): x2 = 5, y2 = 1;
- По формуле:
- По оси X: x2 - x1 = 5 - 3 = 2 По оси Y: y2 - y1 = 1 - (-2) = 3
- Ответ: координаты вектора AB - (2, 3).
Как видите, алгоритм довольно простой. Давайте теперь разберем более сложный пример с отрицательными координатами.
Пример со знаками координат
Вектор задан точками C(-2, 4) и D(3, -3). Найдем его координаты.
- Координаты точки C: x1 = -2, y1 = 4
- Координаты точки D: x2 = 3, y2 = -3
- Вычисляем:
- x2 - x1 = 3 - (-2) = 5 y2 - y1 = -3 - 4 = -7
- Ответ: координаты вектора CD - (5, -7).
Как видим, несмотря на отрицательные значения, алгоритм вычисления не меняется. Просто аккуратно складывайте и вычитайте координаты - и вы без труда найдете любой вектор!
В следующих частях статьи мы подробно разберем нахождение координат векторов в пространстве, а также рассмотрим полезные онлайн-ресурсы для тренировки этого важного навыка.
Нахождение координат вектора в пространстве
Рассмотрим теперь, как найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Здесь принцип тот же, но добавляется еще одна координата Z:
AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)Где x1, y1, z1 - координаты начальной точки вектора A; x2, y2, z2 - координаты конечной точки вектора B.
Базисные векторы в пространстве
В трехмерной системе координат определяются три базисных единичных вектора: i, j и k. Они направлены вдоль осей координат X, Y и Z соответственно, как показано на рисунке:
Любой вектор в пространстве можно представить как линейную комбинацию базисных векторов с определенными коэффициентами. Эти коэффициенты и будут координатами данного вектора.
Пример вычисления
Найдем координаты вектора AB, заданного координатами концов A(1, 2, -3) и B(4, 0, 5):
- Координаты точки A (x1, y1, z1): 1, 2, -3
- Координаты точки B (x2, y2, z2): 4, 0, 5
- Вычитаем соответствующие координаты:
- x2 - x1 = 4 - 1 = 3 y2 - y1 = 0 - 2 = -2 z2 - z1 = 5 - (-3) = 8
- Получаем: координаты вектора AB - (3, -2, 8)
Как видите, ничего сложного - вычисляем разность координат и записываем полученный вектор в виде тройки чисел в скобках.
Геометрический смысл координат вектора
Координаты вектора имеют наглядный геометрический смысл. Коэффициент при базисном векторе показывает, насколько нужно сдвинуться в соответствующем направлении от начальной точки, чтобы попасть в конечную точку вектора.
Например, в предыдущем примере вектор AB "сдвинул" нас в направлении X на 3 единицы, в направлении Y "отодвинул" на 2 единицы, а в направлении Z "приблизил" на 8 единиц.
Знаки координат вектора
Знаки координат вектора тоже имеют смысл. Положительное значение означает направление вектора в сторону положительного направления оси координат. Отрицательное значение координаты - направление вектора в сторону отрицательного направления оси.
Примеры знаков координат
- Вектор (3, -5, 1) направлен вдоль оси X в положительную сторону, вдоль Y - в отрицательную сторону, а вдоль Z снова в положительную сторону
- Вектор (-2, 0, 4) направлен против оси X и вдоль оси Z в положительную сторону
Учитывая знаки координат, можно точно определить направление любого вектора в пространстве. Это очень важно при решении физических и инженерных задач.
