Вещественные числа играют важную роль в математике и естественных науках. Они позволяют описывать непрерывные величины - длины, площади, объемы, массы, силы и другие физические величины. Понимание определения, свойств и применения вещественных чисел крайне важно для правильного моделирования реальных процессов и явлений.
История возникновения понятия вещественного числа
Первые представления о вещественных числах появились еще в Древней Греции. Тогда было сделано открытие о несоизмеримости - то есть существовании таких величин, отношение которых не может быть выражено рациональным числом. Наиболее известный пример - отношение стороны квадрата к его диагонали. Это привело к разделению всех чисел на два класса:
- Рациональные числа - числа, которые можно представить в виде отношения целых чисел.
- Иррациональные числа - числа, которые таким образом представить нельзя.
Хотя представление о существовании иррациональных чисел появилось достаточно рано, формального определения понятия "вещественное число" не существовало в течение многих веков. Лишь в 19 веке были предложены строгие подходы к определению этого фундаментального понятия.
Формальные определения
Существует несколько эквивалентных способов строгого определения понятия "вещественное число":
- Через фундаментальные последовательности рациональных чисел.
- C помощью теории десятичных дробей.
- Используя теорию сечений Дедекинда.
- Аксиоматический подход с определением свойств упорядоченного поля.
Рассмотрим некоторые из этих определений подробнее.
Определение через фундаментальные последовательности
Этот подход, предложенный Кантором, Дедекиндом и Вейерштрассом, состоит в следующем:
- Берется последовательность рациональных чисел: {\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \ldots}
- На эту последовательность накладывается условие Коши: для любого \(\varepsilon > 0\) найдется такой номер \(N\), что для всех \(n > N\) выполнено неравенство \(|x_n - x_m| < \varepsilon\).
- Последовательность, удовлетворяющая этому условию, называется фундаментальной.
- Вещественным числом называется предел фундаментальной последовательности рациональных чисел (если этот предел существует).
Таким образом вещественные числа определяются как предельные точки последовательностей рациональных чисел.
Аксиоматическое определение
В этом подходе вещественные числа определяются через их свойства, а не через построение. Для этого формулируется система аксиом, задающих свойства вещественных чисел. Например, можно использовать следующие основные аксиомы:
- Коммутативность сложения и умножения.
- Ассоциативность сложения и умножения
- Распределительный закон.
- Наличие нуля и единицы.
- Возможность вычитания и деления.
- Упорядоченность чисел.
- Связность и плотность.
Множество вещественных чисел, удовлетворяющее этим аксиомам, с точностью до изоморфизма единственно. Этот аксиоматический подход эквивалентен другим определениям, но иногда является более удобным.
Свойства вещественных чисел
Из аксиом, определяющих вещественные числа, вытекает ряд важных свойств:
- Вещественные числа образуют упорядоченное поле.
- Множество вещественных чисел непрерывно.
- Между любыми двумя различными вещественными числами находится третье вещественное число.
Непрерывность
Непрерывность означает, что между любыми двумя различными вещественными числами \(a\) и \(b\) найдется еще одно вещественное число \(c\). Иными словами, вещественные числа заполняют всю числовую прямую без разрывов.
Это свойство позволяет строить пределы непрерывных функций вещественного переменного, что лежит в основе математического анализа.
Связь рациональных и иррациональных чисел
Хотя рациональные и иррациональные числа образуют разные подмножества вещественных чисел, между ними есть тесная связь. Это иллюстрируется несколькими важными утверждениями.
Лемма 1. Любое вещественное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами.
Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами находится рациональное число.
То есть вещественные и рациональные числа в некотором смысле "перемешаны" на числовой прямой. Это свойство носит название плотности рациональных чисел во множестве вещественных.
Примеры вещественных чисел
Рассмотрим несколько конкретных примеров вещественных чисел разных типов.
Константы {\(\pi\)} и {\(e\)}}
Наиболее известные трансцендентные числа - число {\(\pi\)} и число Эйлера {\(e\)}}. Они определяются как пределы бесконечных последовательностей:
- \(\pi = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{P_n}{D_n}\), где \(P_n\) и \(D_n\) - периметр и диаметр вписанного \(n\)-угольника.
- \(e = \lim\limits_{n\to\infty} (1 + \dfrac{1}{n})^n\)
Эти числа являются иррациональными, они встречаются во многих формулах математики и естественных наук.
Арифметические операции с вещественными числами
Рассмотрим примеры применения основных арифметических операций к вещественным числам.
Пусть даны два вещественных числа: \(a = 2.5\), \(b = 1.25\). Тогда:
- Сумма: \(a + b = 2.5 + 1.25 = 3.75\)
- Разность: \(a - b = 2.5 - 1.25 = 1.25\)
- Произведение: \(a \cdot b = 2.5 \cdot 1.25 = 3.125\)
- Частное: \(a / b = 2.5 / 1.25 = 2\)
Таким образом, над вещественными числами определены все стандартные арифметические операции с ожидаемыми свойствами.
Представление вещественных чисел в ЭВМ
Для представления вещественных чисел в компьютерах используется формат с плавающей точкой. Рассмотрим его подробнее.
Принцип двоичного представления
В формате с плавающей точкой вещественное число представляется в виде:
- Знак числа (1 бит)
- Порядок числа в виде целого числа (8 бит для float, 11 бит для double)
- Мантисса - дробная часть числа в двоичном представлении (23 бита для float, 52 бита для double)
Таким образом, любое вещественное число записывается как \(\pm M \cdot 2^E\), где \(M\) - мантисса, а \(E\) - порядок.
Погрешности вычислений
Поскольку длина мантиссы конечна, представление вещественных чисел в компьютере всегда приближенное. Это приводит к погрешностям вычислений, особенно при многократных операциях.
Абсолютная погрешность для float составляет порядка \(10^{-7}\), а для double - \(10^{-15}\). При проектировании вычислительных алгоритмов это необходимо учитывать.
Сравнение float и double
Float занимает 4 байта, а double - 8 байт, поэтому double обеспечивает большую точность. Однако в некоторых приложениях из соображений экономии памяти используется float. При этом следует иметь в виду бо́льшую погрешность.
Диапазон представимых чисел для float составляет \(10^{-38}\dots10^{38}\), а для double - \(10^{-308}\dots10^{308}\). Double может представлять очень большие и очень малые числа.
| Тип данных | Размер | Погрешность | Диапазон значений |
| float | 4 байта | 10-7 | 10-38...1038 |
| double | 8 байт | 10-15 | 10-308...10308 |
Арифметические операции с вещественными числами
Опишем реализацию основных операций над вещественными числами в компьютерах подробнее.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание реализуется поразрядно с учетом знака, порядка и нормализацией результата. Это позволяет эффективно использовать аппаратные средства процессора.
Основная трудность - предотвращение переполнения и потери значащих цифр мантиссы. Для этого применяются специальные алгоритмы.
Умножение вещественных чисел
Умножение также реализуется на основе двоичного представления с учетом знаков и порядков сомножителей.
Результирующий порядок складывается, мантиссы перемножаются как двоичные числа. Возможна потеря старших разрядов, что вносит дополнительную погрешность.
Деление вещественных чисел
Деление использует те же принципы, что и умножение, но требует больших затрат процессорного времени.
Для повышения производительности в процессорах реализованы специальные алгоритмы деления с использованием таблиц поиска и быстрого приближенного деления.
Возведение в степень
Возведение вещественного числа в степень также реализуется на основе двоичного представления с использованием быстрого умножения.
Для оптимизации вычислений применяются варианты алгоритма, основанные на бинарном разложении показателя степени.
Это позволяет минимизировать число умножений за счет вычисления промежуточных квадратов.
Вычисление элементарных функций
Для вычисления тригонометрических, показательной и логарифмической функций от вещественного аргумента используются рациональные аппроксимации и таблицы значений.
Это обеспечивает компромисс между быстродействием и точностью по сравнению с использованием рядов Тейлора или других аналитических методов.
Накопление погрешностей
При вычислениях с вещественными числами погрешности постепенно накапливаются, особенно в сложных выражениях.
Для оценки влияния погрешностей используется аппарат теории погрешностей, который позволяет определить результирующую погрешность.
Контроль вычислений
Для контроля результатов арифметических операций с вещественными числами используются различные методы:
- Инверсия операций
- Вычисление в различных арифметиках
- Оценка порядков результата
Это позволяет обнаруживать грубые ошибки и в неявном виде повышает надежность вычислений на порядки.
