Умение вносить множитель под знак корня - важный навык, который пригодится на экзаменах и в дальнейшей учебе. Давайте разберемся в сути этого нехитрого на первый взгляд преобразования. В нашем пошаговом руководстве вы найдете ответы на все вопросы: что такое внесение множителя под корень, какие правила используются, как решать задачи. Погрузитесь в мир иррациональных чисел!
Что значит "внесите множитель под знак корня"
Внесение множителя под знак корня - это преобразование, при котором произведение вида B·Cn, где B и C - числа или выражения, а n - натуральное число, заменяется эквивалентным выражением Bn·Cn или -Bn·Cn.
«Внести множитель под корень» - еще одно название для этого преобразования.
В школьном курсе алгебры это понятие впервые вводится при изучении квадратных корней в 8 классе. Рассмотрим примеры выражений до и после преобразования:
- 5·√3 = 52·√3 = 25·3
- -2·√x = -√(22·x) = -2·√x
Чтобы понять, можно ли внести множитель под знак корня в конкретном выражении, нужно посмотреть, есть ли там произведение числа/выражения и корня с числом/выражением под знаком.
Теоретические основы
Преобразование основано на двух важных результатах из теории:
- B·Cn = Bn·Cn, если B ≥ 0
- B·Cn = -Bn·Cn, если B < 0
Используя эти формулы, мы можем определить, когда меняем, а когда не меняем знак перед корнем. Рассмотрим подробный пример.
Правила внесения множителя под знак корня
Существует 4 основных правила внесения множителя под знак корня в зависимости от четности показателя n и знака выражения B:
| 1 | n - нечетное | B·Cn = Bn·Cn |
| 2 | n - четное, B ≥ 0 | B·Cn = Bn·Cn |
| 3 | n - четное, B < 0 | B·Cn = -Bn·Cn |
| 4 | n - четное, знак B не определен | B·Cn = |B|n·Cn |
Давайте рассмотрим примеры преобразований с использованием этих правил.
Рассмотрим несколько примеров преобразований с использованием сформулированных выше правил.
Правило 1. Нечетный показатель корня
Пример: 2·3125√3. Здесь p=5 - нечетное число. Применяем первое правило:
2·3125√3 = (2^5)·3125√3 = 32·3125√3
Правило 2. Четный показатель корня, положительный множитель
Пример: 5·642√2. Здесь p=4 - четное число, множитель 5 положителен. Используем второе правило:
5·642√2 = (5^4)·642√2 = 625·642√2
Для более глубокого понимания давайте еще раз вернемся к определению: "внесите множитель знак корня" означает замену произведения B·Cn на эквивалентное выражение Bn·Cn или -Bn·Cn.
Правило 3. Четный показатель, отрицательный множитель
"внесите" отрицательное число или выражение под четную степень корня согласно третьему правилу:
-3·1024√4 = -(3^4)·1024√4 = -81·1024√4
Правило 4. Переменный множитель
Если знак множителя не определен, применяем 4 правило:
x·256√6 = |x|^6·256√6
Задачи на внесение множителя под знак корня
Задача 1
внесите под корень шестой степени в выражении 2·3√x:
2·3√x = 2^6·3√x = 64·3√x
Задача 2
Дано: -5·81√y. Показатель корня четный, множитель отрицательный. Применяем третье правило:
-5·81√y = -(5^4)·81√y = -625·81√y
Задача 3
Внесем под знак корня пятой степени множитель 7x в выражении 7x·1024√z:
7x·1024√z = |7x|^5·1024√z
Алгоритм решения задач на "внесите множитель знак корня"
Пошаговый алгоритм внесения множителя под корень:
- Определить показатель степени корня n
- Определить знак множителя B
- Выбрать подходящее правило преобразования
- Произвести замену согласно выбранному правилу
- При необходимости упростить полученное выражение
Типичные ошибки
Разберем распространенные ошибки, которые следует избегать при внесении множителя под корень.
Распространенная ошибка - неверное определение знака выражения B. Например:
-3x^2 (x - меняет знак) считают положительным множителем. Правильно: это выражение может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака x.
Если неправильно определен знак B, соответственно будет выбрано не то правило для преобразования. Распространенный случай - путаница между 2 и 3 правилом при четном показателе корня.
После внесения множителя под корень важно проверить правильность выполненных действий. Лучше всего сделать обратное преобразование и убедиться, что получилось исходное выражение.
Как избежать ошибок
Для предотвращения типичных ошибок рекомендуется:
- Внимательно проанализировать исходное выражение
- Строго следовать правилам преобразований
- Обязательно проверять решение
