Какие числа используют математики в своей работе? Оказывается, гораздо больше, чем мы привыкли в школе! Давайте разберемся, какие виды чисел существуют в математике, зачем они нужны и где применяются. Это поможет нам лучше понять, как устроена математика.
Натуральные и целые числа
Натуральные числа - это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3 и так далее. Ноль к натуральным числам не относится. Их обозначают буквой N.
Натуральные числа возникли в глубокой древности из практической потребности людей считать предметы. Считать предметы человек научился еще в доисторические времена.
Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества.
Аксиомы Пеано - это набор утверждений, которые формально определяют понятие натурального числа:
- 1 является натуральным числом
- Каждое натуральное число имеет следующее число
- 1 не является следующим числом ни для какого натурального числа
- Два натуральных числа, у которых следующие числа равны, равны друг другу
- Принцип математической индукции: если множество натуральных чисел обладает некоторым свойством, то оно обладает им для всех чисел, если доказано, что: 1) оно выполняется для 1, 2) если свойство выполняется для некоторого числа k, то оно выполняется и для следующего числа k+1
Целые числа включают в себя натуральные числа, нуль и отрицательные целые числа. Они нужны были для того, чтобы можно было вычитать из числа большее число, например: 5 - 7 = -2.
Целые и натуральные числа широко используются в повседневной жизни - при счете предметов, людей, денег, времени и так далее. Вот несколько примеров их применения:
- Подсчет товаров в магазине
- Измерение расстояний, веса, объема, температуры в градусах Цельсия
- Обозначение номеров телефонов, комнат в гостинице, этажей
- Подсчет очков, голов в спортивных соревнованиях
- Обозначение дат, годов
А вот 10 способов, как целые и натуральные числа помогают в повседневных задачах:
- Посчитать наличные деньги
- Узнать текущее время и время в пути при планировании маршрута
- Подсчитать калории в продуктах при составлении диеты
- Посчитать нужное количество продуктов для приготовления блюда
- Узнать свой рост, вес, объем талии
- Посчитать количество страниц в книге
- Узнать номер автобуса, трамвая, троллейбуса, вагона поезда
- Подсчитать сдачу в магазине
- Определить объем зала, комнаты, квартиры
- Подобрать размер одежды, обуви
Как видно из примеров, натуральные и целые числа незаменимы в обычной жизни для решения самых разных задач.
Рациональные и иррациональные числа
Рациональными называются числа, которые можно записать в виде отношения двух целых чисел. Например: 1/2, 3/5, 25/36. Они включают в себя целые числа.
Основные свойства рациональных чисел:
- Можно представить в виде обыкновенной или десятичной дроби
- Замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения и деления
- Упорядочены на числовой прямой
Примеры рациональных чисел: 2, 5/3, 0.25, -4/9, 2.13653.
Иррациональными называются числа, которые нельзя представить в виде отношения целых чисел, то есть обыкновенной или десятичной дроби. Они представляются бесконечными непериодическими дробями.
Например: √2, √3, π.
Вот несколько интересных фактов об иррациональных числах:
- Существует бесконечное множество иррациональных чисел
- Вавилонские математики знали про существование иррациональных 1800 году до нашей эры
- Доказательство существования несоизмеримой с стороной квадрата его диагонали (то есть иррациональности √2) приписывают пифагорейцам
- В средние века некоторые математики не признавали существование иррациональных чисел и считали работу с ними «извлечением корней из ничего»
- Иррациональные числа нельзя точно изобразить на числовой прямой, для этого потребовалась бы бесконечно тонкая линия
- Существуют трансцендентные иррациональные числа (например, π и e), которые не являются корнями никаких многочленов
Таким образом, иррациональные числа, хоть и кажутся странными с точки зрения обыденной логики, играют важнейшую роль в математике наряду с рациональными. Без них невозможно было бы построить полную теорию действительных чисел.
Действительные и комплексные числа
Множество вещественных или действительных чисел состоит из всех рациональных и иррациональных чисел. Оно имеет бесконечную мощность и непрерывно. Действительные числа часто обозначают буквой R.
Основные свойства действительных чисел:
- Образуют упорядоченное поле
- Замкнуты относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления
- Между любыми двумя различными действительными числами существует бесконечно много других действительных чисел (свойство непрерывности)
Для представления в памяти компьютера обычно используют двоичную систему счисления. Чаще всего действительные числа записываются в виде чисел с плавающей запятой.
В виде числа с плавающей запятой действительное число записывается следующим образом:
- Часть битов кодирует мантиссу числа (значащие цифры)
- Другая часть битов кодирует порядок числа (показатель степени основания системы счисления)
- Еще один бит указывает знак числа (положительное или отрицательное)
Такая запись позволяет приближенно представлять в компьютере очень большие и очень малые числа.
Проблема представления действительных чисел в компьютере
Хотя формат с плавающей запятой удобен, у него есть недостаток - точно могут быть представлены далеко не все действительные числа, а лишь некоторое конечное их множество. Поэтому на практике в компьютере мы имеем дело не с математическими действительными числами как таковыми, а лишь с их приближением.
Абсолютная и относительная погрешности
Для оценки точности представления действительных чисел в компьютере используют понятия абсолютной и относительной погрешностей.
Абсолютная погрешность - это абсолютная величина разности между точным и приближенным значениями числа.
Относительная погрешность выражается в процентах как отношение абсолютной погрешности к точному значению.
Комплексные числа
Комплексные числа - это числа вида a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть, i - мнимая единица (i^2 = -1).
Комплексные числа можно записывать в алгебраической форме, тригонометрической форме и изображать в виде точек на комплексной плоскости.
Комплексные числа находят широкое применение в различных областях математики и ее приложениях - теории уравнений, анализе, функциях комплексного переменного, теории вероятностей, математической физике и других.
