Тангенс - одна из важнейших тригонометрических функций. Знание таблицы основных значений тангенсов необходимо для решения множества практических задач в геометрии, физике, технике.
Основные сведения о тангенсе
Тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике:
Тангенс связан с другими тригонометрическими функциями соотношениями:
- tg α = sin α / cos α
- ctg α = cos α / sin α
Тангенс определен для всех углов, кроме кратных 90° (π/2 радиан). При α = 90° тангенс стремится к бесконечности.
Знак тангенса:
- Положительный в I и III четвертях от 0° до 90° и от 180° до 270°.
- Отрицательный во II и IV четвертях от 90° до 180° и от 270° до 360°.
График тангенса:
Тангенс - периодическая функция с периодом 180°. За основной период принимается интервал от -90° до 90°.
Некоторые примеры использования тангенса:
- Расчет углов и длин сторон в треугольниках
- Решение тригонометрических уравнений
- Описание колебательных и волновых процессов в физике
Таблица основных значений тангенсов
Рассмотрим подробнее саму таблицу основных значений тангенсов углов. Для начала запишем tg 0° = 0 и tg 90° - не определено, стремится к бесконечности при приближении угла к 90°.
Основные значения:
- tg 30° = 1/√3
- tg 45° = 1
- tg 60° = √3
Эти значения получаются из определения тангенса и соотношений сторон в 30-60-90 и 45-45-90 градусных треугольниках. Далее, используя формулы приведения, таблицу можно расширить до 360° с шагом 30°:
| Угол α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| tg α | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | Не определено |
Для отрицательных углов значения tg α также отрицательны, что отражает четное симметричное расположение точек на единичной окружности. С помощью линейной интерполяции по табличным значениям можно найти тангенс любого промежуточного угла. Например:
- tg 15° = 0,5
- tg 37° = 0,75
Для вычисления tg α с точностью до секунд используются таблицы Брадиса. В этих таблицах приведены значения tg α с шагом в 6 минут для всех целых градусов от 0 до 90. Дополнительно даются поправки для промежуточных значений с точностью до 1 минуты.
Использование таблиц Брадиса
Например, чтобы найти tg 24°37', сначала в таблице находим значение для ближайшего меньшего угла - это tg 24°36' = 0,4523. Затем берем поправку на 1 минуту - она составляет 0,0008. Прибавляем эту поправку к найденному значению:
tg 24°37' = 0,4523 + 0,0008 = 0,4531
Тангенсы острых и тупых углов
Если нужно найти tg угла больше 90°, применяют формулы приведения: tg(180° - α) = -tgα, tg(90° + α) = ctgα и т.д. Например:
tg 110° = tg(180° - 70°) = -tg 70° = -2,747
Так определяют tg для всех углов от 0 до 360°, используя симметрию значений tgα относительно осей координат.
Границы применимости
Следует помнить, что таблицы дают значения tgα только для острых углов от 0 до 90°. При вычислениях для тупых углов сначала нужно их привести к дополнительному острому углу при помощи формул приведения.
Практические задачи
Рассмотрим несколько примеров использования таблиц tgα на практике:
- Расчет параметров в треугольниках
- Нахождение углов по значению tgα
- Решение тригонометрических уравнений
В этих случаях таблицы tgα позволяют быстро и точно находить нужные значения для вычислений.
