Прямая и обратная пропорциональности - это важные математические понятия, которые широко применяются при решении задач в самых разных областях: от экономики до техники. Давайте разберемся, что это такое и как эти зависимости помогают в повседневной жизни.
Основные определения
Пропорциональность - это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной величины влечет определенное изменение другой.
Различают два основных вида пропорциональной зависимости:
- прямая пропорциональность;
- обратная пропорциональность.
При прямой пропорциональной зависимости с увеличением одной величины другая возрастает в то же число раз. Например, чем больше товаров мы покупаем в магазине, тем выше общая стоимость покупки.
При обратной пропорциональной зависимости с увеличением одной величины другая уменьшается в то же число раз. К примеру, при постоянном расстоянии чем выше скорость движения автомобиля, тем меньше времени он затратит на поездку.
Краткая запись условия задачи
Чтобы облегчить решение задач на пропорциональность, удобно использовать краткую запись ее условия. При этом одноименные величины записываются друг под другом.
Например, для задачи:
Цена 1 кг конфет 30 рублей. Сколько стоит 4 кг таких же конфет?
краткая запись будет выглядеть так:
| 1 кг | 30 руб |
| 4 кг | x руб |
Здесь x - искомая величина, то есть цена 4 кг конфет.
Краткая запись позволяет быстро определить тип зависимости между данными, что упрощает дальнейший ход решения.
Составление и решение пропорций
На следующем этапе решения составляется пропорция и находится ее неизвестный член.
Для задачи на прямую пропорциональность пропорция будет иметь вид:
- 30 руб : 1 кг = x руб : 4 кг
Решая ее, получаем x = 30 * 4 = 120 рублей.
То есть 4 кг конфет стоят 120 рублей.
Примеры задач на обратную пропорциональность
Рассмотрим пример задачи на обратную пропорциональную зависимость.
Мотоциклист проехал 120 км со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью он преодолеет то же расстояние за 1,5 часа?
Запишем условие задачи:
| 120 км | 60 км/ч |
| 120 км | x км/ч |
Составим и решим пропорцию:
- 60 км/ч : 120 км = x км/ч : 120 км
- x = 120 * 60 / 120 = 80 км/ч
Ответ: со скоростью 80 км/ч.
Задачи на совместную работу
Рассмотрим пример задачи на обратную пропорциональную зависимость для совместной работы.
Саша может покрасить забор за 6 часов, а Петя за 8 часов. За сколько часов они вместе покрасят этот забор?
Краткая запись:
| Саша | 6 часов |
| Петя | 8 часов |
| Вместе | x часов |
Решение:
- 1/6 часа + 1/8 часа = 1/x часа (обратная пропорциональность)
- x = 4 часа
Ответ: вместе они покрасят забор за 4 часа.
Геометрические задачи
Прямая и обратная пропорциональные зависимости часто встречаются в геометрических задачах.
Площадь прямоугольника равна 12 см2. Если его длина увеличится в 3 раза, то во сколько раз уменьшится ширина?
Решение:
- S = a * b (формула площади прямоугольника)
- 12 см2 = a * b (исходные данные)
- При увеличении длины a в 3 раза, ширина b уменьшится во столько же раз (обратная пропорциональность)
Значит, ширина уменьшится в 3 раза.
Ответ: в 3 раза.
Задачи с графиками
Графически обратно пропорциональную зависимость можно изобразить верхней и нижней ветвями гиперболы.
На графике изображена зависимость скорости автомобиля v от времени движения t при постоянном пути. Какое расстояние проехал автомобиль за 2 часа, если его скорость была 90 км/ч?
Решение:
- На графике v и t связаны обратно пропорциональной зависимостью
- За 2 часа скорость была 90 км/ч
- Значит, автомобиль проехал s = 90 * 2 = 180 км
Ответ: 180 км.
Экономические задачи
Обратная пропорциональность часто встречается в экономических расчетах.
Производительность труда рабочего - 20 деталей в час. Какую производительность должна иметь новая станок, чтобы ежедневно собиралось на 60 деталей больше при той же продолжительности рабочего дня?
Решение:
- Текущая производительность труда одного рабочего - 20 деталей в час
- Необходимо увеличить выпуск на 60 деталей в день при той же длительности рабочего дня
- Значит, производительность нового станка должна компенсировать нужное увеличение выпуска
- Используем обратную пропорциональность: 20 деталей/час - 1 станок x деталей/час - 2 станка (1 старый + 1 новый)
- Решаем: x = 40 деталей/час
Ответ: производительность нового станка должна составлять 40 деталей в час.
Задачи повышенной трудности
Рассмотрим посложнее задачу с использованием обратной пропорциональности.
Два насоса за 30 минут перекачивают 120 т воды. За сколько минут эту работу выполнит один насос, производительность которого на 10 т/мин меньше?
Дано:
- 2 насоса: 120 т за 30 минут
- 1 насос: производительность на 10 т/мин меньше
Найти: время работы 1-го насоса.
Решение:
- Найдем суммарную производительность 2-х насосов: 120 т / 30 мин = 4 т/мин
Анализ типичных ошибок
Рассмотрим типичные ошибки при решении задач на обратную пропорциональность и способы их предотвращения.
- Производительность одного насоса на 10 т/мин меньше, то есть равна 4 - 10 = 30 т/мин
- Используем обратную пропорциональность:
- Производительность 1-го насоса: 30 т/мин Производительность 2-х насосов: 4 т/мин
- Составляем и решаем пропорцию:
- 30 т/мин : x минут = 4 т/мин : 30 минут x = 40 минут
Ответ: один насос выполнит эту работу за 40 минут.
Полезные рекомендации
Для успешного решения задач на обратную пропорциональность можно дать следующие рекомендации:
- Внимательно проанализировать условие задачи
- Записать краткую формулировку задачи
- Определить, что дано, а что требуется найти
- Выявить обратно пропорциональные величины
- Составить и решить пропорцию
Следование этим рекомендациям поможет избежать типичных ошибок.
Обобщение и выводы
Итак, мы рассмотрели основные понятия, связанные с обратной пропорциональной зависимостью, на конкретных примерах задач.
Задачи повышенной сложности
Рассмотрим еще один сложный пример.
Три рабочих выполняют заказ за 4 дня. За сколько дней выполнят такой же заказ 2 рабочих, если производительность труда одного из них на 20% больше производительности каждого из трех?
Анализ:
- Есть обратно пропорциональная зависимость между количеством рабочих и временем выполнения заказа
- Нужно учесть разную производительность рабочих во второй группе
Решение:
- Найдем производительность 1 рабочего из первой группы (3 человека):
- Общая производительность 3 человек - заказ за 4 дня Значит, производительность 1 человека - заказ за 4*3 = 12 дней
Закрепление навыков
Для закрепления навыков решения задач предлагаем выполнить следующие упражнения.
- Производительность одного нового рабочего на 20% больше, то есть составляет 12 * 1,2 = 14,4 дня
- Составим пропорцию:
- 1 старый рабочий: 12 дней 1 новый рабочий: 14,4 дня 2 рабочих: х дней
- Решаем: х = (12 * 14,4) / (12 + 14,4) = 8 дней
Ответ: 2 рабочих выполнят заказ за 8 дней.
Тренировка навыков
Для закрепления решения задач на обратную пропорциональность рассмотрим еще примеры:
-
Два крана наполняют бассейн за 12 часов. Один кран наполняет его на 5 часов дольше. За сколько часов наполнит бассейн каждый кран по отдельности?
-
Производительность труда рабочего возросла на 25% после курсов повышения квалификации. На сколько процентов сократилось необходимое для выполнения заказа время?
Попробуйте решить эти задачи самостоятельно, применив изученные подходы.
