Локальная и интегральная теоремы Лапласа - основы теории вероятностей

Локальная и интегральная теоремы Лапласа позволяют значительно упростить сложные вероятностные расчеты в задачах с большим количеством испытаний. Эти формулы дают приближенный результат, но при этом избавляют от громоздких вычислений по формуле Бернулли. Давайте разберемся, как использовать математический аппарат теорем Лапласа на практике.

История создания локальной и интегральной теорем Лапласа

В 1713 году швейцарский математик Якоб Бернулли предложил универсальную схему для моделирования случайных испытаний с двумя исходами. На ее основе была выведена формула Бернулли для вычисления вероятностей.

Формула Бернулли: P(X = k) = C^k_n∗p^k∗(1−p)^(n−k)

Однако прямое использование этой формулы требовало громоздких вычислений. Французский математик Пьер-Симон Лаплас в 1783 году предложил две теоремы, позволяющие значительно упростить расчеты.

Принцип работы теорем Лапласа

Локальная и интегральная теоремы Лапласа базируются на следующих допущениях:

• Большое количество независимых испытаний (свыше 50)
• Постоянная вероятность события в каждом испытании
• Использование специальных функций Гаусса и Лапласа

Это позволяет получать приближенный результат с высокой точностью, не прибегая к громоздким вычислениям. Рассмотрим более подробно математический аппарат обеих теорем.

Математический аппарат теорем Лапласа

Локальная и интегральная теорема Лапласа используют специальные функции для упрощения расчетов вероятностей. Давайте подробнее разберемся в их особенностях.

Функция Гаусса

В локальной теореме Лапласа используется функция Гаусса (Функция нормального распределения) с математическим обозначением φ(х). Она обладает следующими свойствами:

1. Является четной функцией: \(\varphi(-x) = \varphi(x)\)
2. Имеет наибольшее значение в точке х=0
3. Быстро убывает при удалении аргумента от нуля

Значения функции Гаусса приведены в специальных таблицах для различных аргументов. Это позволяет быстро находить значение \(\varphi(x)\) в формуле локальной теоремы Лапласа.

Функция Лапласа

В интегральной теореме Лапласа используется функция Лапласа, обозначаемая \(\Phi(x)\). Она имеет следующие особенности:

• Является нечетной функцией: \(\Phi(-x)=-\Phi(x)\)
• Монотонно возрастает с ростом аргумента
• Имеет наибольшее значение \(\Phi(\infty)=1\)

Как и для функции Гаусса, значения функции Лапласа заданы в специальных таблицах. Это существенно облегчает вычисления по интегральной теореме Лапласа.

Далее давайте разберем конкретные примеры использования каждой из теорем Лапласа для решения вероятностных задач.

Использование локальной теоремы Лапласа

Локальная и интегральная теорема Лапласа позволяет находить вероятность того, что в серии испытаний конкретное событие произойдет строго заданное число раз. Рассмотрим характерную задачу.

Пример использования локальной теоремы Лапласа

Имеется урна с 5 белыми и 3 черными шарами. Из нее последовательно вынимают 4 шара без возвращения. Требуется найти вероятность того, что будет вынуто 2 белых и 2 черных шара.

Решение:

1. Общее количество шаров: n = 5 + 3 = 8
2. Вероятность вынуть белый шар: \(p = \frac{5}{8} = 0,625\)
3. Требуемое количество белых шаров: k = 2
4. Подставляем в локальную формулу Лапласа: P = \frac{1}{\sqrt{npq}} \varphi(\frac{k-np}{\sqrt{npq}})
5. Вычисляем: P = 0,204

Как видно из решения, локальная теорема Лапласа позволяет достаточно просто получить искомую вероятность, не прибегая к громоздким выкладкам.

Далее рассмотрим использование интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа

В отличие от локальной теоремы, интегральная теорема лапласа позволяет находить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений. Рассмотрим пример.

Задача на интегральную теорему Лапласа

В урне находится 10 шаров, из которых 7 белых и 3 черных. Поочередно вынимают 5 шаров без возвращения. Требуется найти вероятность того, что будет вынуто от 2 до 4 белых шаров.

Решение:

1. Вероятность вытащить белый шар: \(p = \frac{7}{10} = 0,7\)
2. Применяем интегральную теорему Лапласа: P = Ф(\frac{b-np}{\sqrt{npq}}) − Ф(\frac{a-np}{\sqrt{npq}})
3. Подставляя значения, получаем: P = 0,68

Как видно из решения, интегральная теорема также позволяет достаточно просто найти искомую вероятность для заданного интервала значений.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа кратко

Кратко резюмируем основные отличия двух теорем Лапласа:

• Локальная теорема - для конкретного числа появлений события
• Интегральная теорема - для интервала количества появлений события

Обе теоремы дают приближенный результат с хорошей точностью при выполнении необходимых условий. Рассмотрим теперь их совместное применение.

Совместное использование теорем Лапласа

В некоторых задачах бывает удобно использовать одновременно локальную и интегральную теорему Лапласа. Это позволяет воспользоваться преимуществами каждой из теорем. Рассмотрим такой пример.

Задача на совместное применение теорем Лапласа

В первом ящике находится 200 деталей, из которых 15 - бракованные. Во втором ящике 300 деталей, причем бракованных - 20 штук. Из каждого ящика случайным образом отбирают по 100 деталей. Требуется определить вероятность того, что среди отобранных деталей окажется от 14 до 20 бракованных.

Решение:

1. Находим общую вероятность брака: \(p = \frac{15+20}{200+300}\) = 0,1
2. Применяем локальную теорему Лапласа для 14 бракованных: P1 = 0,13
3. Применяем интегральную теорему Лапласа для интервала от 14 до 20: P2 = 0,76
4. Искомая вероятность P2 - P1 = 0,63

Таким образом, применяя обе теоремы Лапласа, мы нашли искомую вероятность для заданного интервала значений.

Формула Пуассона

Помимо локальной и интегральной теорем, в задачах на вероятности часто используют также формулу Пуассона. Рассмотрим вкратце связь этих формул.

Связь формулы Пуассона и теорем Лапласа

Формула Пуассона позволяет найти вероятность появления конкретного числа событий за промежуток времени, если известна средняя частота этих событий. В отличие от теорем Лапласа, формула Пуассона может применяться и при небольшом числе испытаний. Однако она не дает возможности находить вероятность попадания в интервал значений, поэтому бывает полезно использовать ее теоремами Лапласа.

Рассмотрим пример такого сочетания формулы Пуассона и теорем Лапласа в одной задаче.

Пример совместного использования формул

На участке шоссе в среднем регистрируется 2 аварии в неделю. Найти вероятность того, что на данном участке за месяц произойдет от 6 до 10 аварий.

Решение:

1. Среднее число аварий в месяц (4 недели) - 8
2. По формуле Пуассона находим вероятности для 6 и 10 аварий:
   P(6 аварий) = 0,15 P(10 аварий) = 0,05
3. Применяем интегральную теорему Лапласа для нахождения искомой вероятности: P = 0,63

Как видно из решения, сочетание формул позволяет эффективно решать некоторые типы задач.