Теорема о трех перпендикулярах - фундаментальный инструмент в стереометрии, позволяющий устанавливать взаимосвязи между наклонными, их проекциями и другими прямыми. Эта теорема имеет множество интересных следствий и применений, о которых пойдет речь в данной статье.
Формулировка и доказательство теоремы о трех перпендикулярах
Итак, давайте начнем с точной формулировки самой теоремы:
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.
На рисунке ниже наглядно показаны все три перпендикуляра, о которых говорится в формулировке:
Здесь плоскость α, наклонная а, ее проекция а1 на плоскость α и прямая m, проходящая через основание наклонной перпендикулярно проекции а1. Видно, что m действительно перпендикулярна сразу трем отрезкам: проекции а1, самой наклонной а и перпендикуляру АВ.
Давайте теперь доказательство о трех перпендикулярах пошагово:
- Проводим через точку С прямую КС параллельно АВ (перпендикуляру к плоскости α).
- Так как АВ перпендикулярна плоскости α, то и КС тоже будет перпендикулярна ей, следовательно, и любой прямой в этой плоскости.
- Значит, КС ⊥ с (где с - это прямая, проходящая через основание наклонной).
- Через параллельные прямые АВ и КС проводим плоскость β.
- Так как прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости β (АС и КС), значит она ⊥ любой прямой из этой плоскости.
- Следовательно, s ⊥ ВС (проекции наклонной).
Обратную теорему о трех перпендикулярах формулируют так: если прямая плоскости перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной. Доказательство аналогично, опустим его.
Итак, мы разобрали формулировку теоремы, построили наглядный чертеж и вывели пошаговое логически безупречное доказательство. Давайте теперь перейдем к интересным применениям теоремы на практике.
Применение теоремы для решения задач по геометрии
Одно из основных применений теоремы о трех перпендикулярах - это решение стереометрических задач на вычисление углов между прямыми в пространстве. Рассмотрим такую задачу:
Дана пирамида MABC с высотой МА. Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом C. Найдите угол между ребрами МЦ и BC.
Решение:
Так как МА - высота, то МА ⊥ плоскости ABC. АС - проекция ребра МС на плоскость основания. Раз АС перпендикулярна BC (как медиана прямоугольного треугольника), то по теореме о трех перпендикулярах получаем, что МС ⊥ BC. Значит, искомый угол равен 90 градусов.
Аналогично можно решать задачи на доказательство взаимной перпендикулярности ребер тетраэдра, нахождение расстояний и длин отрезков в пространстве. Рассмотрим еще один пример с вычислениями:
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. AD = 5, DD₁ = 5. Докажите, что прямые АД₁ и А₁С перпендикулярны.
Здесь A₁ является проекцией точки С на грань ADD₁A₁. Эта грань - квадрат, в котором AD₁ ⊥ AB. Поэтому по теореме о трех перпендикулярах AD₁ ⊥ наклонной A₁C, что и требовалось доказать.
Парадоксальные следствия теоремы
Из теоремы о трех перпендикулярах можно вывести некоторые кажущиеся на первый взгляд парадоксальными утверждения.
Например, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы, даже если один из катетов нулевой длины!
Действительно, если в теореме рассмотреть вырожденный случай, когда прямая m совпадает с перпендикуляром АВ, то проекция а1 обращается в нуль. Но при этом по-прежнему выполняется утверждение о перпендикулярности m и а.
Из этого как раз и следует описанный вначале парадокс для прямоугольного треугольника с нулевым катетом.
Связь теоремы с тригонометрией
Из теоремы о трех перпендикулярах можно вывести ряд важных тригонометрических тождеств. Рассмотрим в качестве примера теорему синусов для треугольника:
Где а, b, c - стороны треугольника, α, β, γ - противолежащие им углы. Эта формула легко доказывается из теоремы о трех перпендикулярах. Действительно, если опустить из вершины С перпендикуляр h на сторону аб, то по теореме он будет также перпендикулярен наклонной b.
Получаем два прямоугольных треугольника, где выполняется теорема Пифагора. Применив ее и преобразовав выражения, как раз приходим к формуле синусов.
Применение при решении задач с геометрическими телами
Теорема о трех перпендикулярах часто используется при решении задач на вычисление элементов призм, пирамид, параллелепипедов и других многогранников.
Например, с ее помощью можно доказать, что диагональ куба перпендикулярна плоскости его грани. Или найти угол между скрещивающимися ребрами правильной четырехугольной пирамиды (он равен 90 градусам).
Ошибки при изучении теоремы в 10 классе
Ученики часто допускают типичные ошибки при изучении теоремы о трех перпендикулярах в курсе геометрии 10 класса.
Например, путают порядок перпендикулярности отрезков или неправильно выбирают плоскость для построений. Чтобы таких ошибок не допускать, важно хорошо представлять наглядный чертеж к теореме и знать алгоритм ее применения.
Контрпримеры к теореме
Иногда для лучшего понимания теоремы полезно рассмотреть контрпримеры, когда она не выполняется. Это помогает четко уяснить необходимые условия ее применения.
Например, если прямая m не проходит через основание наклонной или не лежит в плоскости ее проекции - теорема уже не работает. Или если плоскость и наклонная вовсе не пересекаются.
