Числовые функции являются одним из фундаментальных математических объектов, широко применяемых как в теории, так и на практике. Их изучение берет начало в глубокой древности, а современное понимание сформировалось относительно недавно.
История понятия "числовая функция"
Первые упоминания о функциональных зависимостях встречаются еще в трудах древнегреческих математиков. Однако в то время это были лишь частные примеры, не обобщенные в строгое математическое определение.
Разумеется, и в древности при вычислениях люди неосознанно использовали различные функции (например, квадратный корень) и даже уравнения, однако как отдельный математический объект функция могла появиться только после создания Виетом символической алгебры в XVI веке.
Первоначально внимание математиков было сосредоточено на алгебраических формулах. Постепенно представление о функциональных зависимостях расширялось, охватывая все более широкий круг объектов. Важной вехой стало появление работ Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница в XVII веке.
Лейбниц - основоположник термина "функция"
Именно Лейбниц в 1673 году впервые ввел в математический обиход термин " функция ", понимая под ним первоначально различные отрезки, связанные с кривой. В дальнейшем значение этого термина постепенно эволюционировало, приобретя к началу XVIII века современный смысл.
В 1748 году Леонард Эйлер сформулировал уже вполне близкое к сегодняшнему определение:
Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых.
Современное определение числовой функции
В XIX веке окончательно сложилось общепринятое определение числовой функции как соответствия, ставящего в соответствие элементам одного множества (области определения) элементы другого множества (множества значений).
- Функция может принимать в качестве аргументов и значений числа.
- Функция может быть определена не на всем множестве чисел, а только на его подмножестве.
- Одному значению аргумента ставится в соответствие строго одно значение функции.
Таким образом, числовая функция - это правило, позволяющее каждому числу из заданного множества поставить в соответствие определенное число.
Область определения
Множество всех допустимых значений аргумента, на котором задана функция, называется ее областью определения . Это может быть как вся числовая прямая, так и ее подмножество.
Например, областью определения функции $\sqrt{x}$ является множество неотрицательных чисел, так как извлекать корень из отрицательных чисел по правилам действительного анализа некорректно.
Способы задания числовой функции
Существует несколько основных способов задания функции:
- Аналитический
- Графический
- Табличный
- Словесный
- Рекурсивный
Рассмотрим некоторые из них подробнее.
Аналитический способ
Заключается в явном указании формулы, выражающей одну переменную через другую. Это наиболее распространенный способ задания функции, используемый в большинстве математических и естественнонаучных дисциплинах.
Некоторые примеры аналитического задания:
- $f(x) = 3x + 5$ (линейная функция)
- $f(x) = \sin{x}$ (тригонометрическая функция)
- $f(x) = \log_2{x}$ (логарифмическая функция)
Графический способ
При графическом задании функция представляется геометрически в виде кривой на координатной плоскости. Точки этой кривой задают соответствие между значениями аргумента $x$ и значениями самой функции $f(x)$.
Этот способ нагляден и полезен для визуального анализа функции. Однако график всегда задается приближенно, с ограниченной точностью, что является его недостатком.
| Достоинства графического способа | Недостатки графического способа |
| - Наглядность | - Приближенность |
| - Удобство визуального анализа | - Трудность аналитических преобразований |
| - Применимость в сложных случаях | - Невозможность задать функцию в замкнутом виде |
Табличный способ задания функции
При табличном способе функция задается в виде таблицы, строки которой соответствуют значениям аргумента, а столбцы - значениям функции в этих точках:
| x | -1 | 0 | 1 | 2 |
| f(x) | -2 | 1 | 4 | 7 |
Достоинством такого представления является наглядность и возможность задать функцию в точности. Недостатком - громоздкость при большом количестве значений.
Словесный способ задания функции
Заключается в описании функциональной зависимости словами на естественном языке. Хотя язык и не настолько формализован, этот способ позволяет однозначно задать функцию в случаях, когда другие способы сложно или невозможно применить.
Примеры словесного задания:
- "Функция, вычисляющая квадрат числа"
- "Функция, возвращающая следующее нечетное число"
- "Функция, прибавляющая 5 к аргументу"
Рекурсивный способ задания функции
Суть этого способа в том, что функция задается через саму себя - одни ее значения выражаются через другие. Например, рекурсивно заданы многие базовые математические функции:
- $f(0) = 0$
- $f(1) = 1$
- $f(n) = f(n-1) + f(n-2), n \ge 2$ (функция Фибоначчи)
Такой способ компактен и естественно задает многие функции. Но может быть ресурсоемким при вычислении.
Комбинированный способ задания
На практике функции часто задают, комбинируя несколько способов, чтобы использовать достоинства и взаимно компенсировать недостатки каждого. Например:
- Словесное описание функции
- Примеры значений в таблице
- График функции
- Формула в наиболее важных точках
Такое комплексное задание позволяет максимально полно и разносторонне представить функцию в удобном для анализа и применения виде.
Выбор способа задания
При выборе способа следует учитывать:
- Цели задания функции
- Ее свойства и особенности
- Требования к точности
- Наличие и удобство формульного представления
В большинстве случаев оптимальным является комбинированный подход с преобладанием аналитического или графического способов.
График функции
Графиком функции $y = f(x)$ называют множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих функциональной зависимости $y = f(x)$. Геометрически график представляет собой некоторую кривую.
Основным требованием является, чтобы через каждую точку графика можно было провести вертикальную прямую, не пересекающую график в других точках. Это обеспечивает однозначное соответствие между $x$ и $y$.
Построение графика функции
Для приближенного построения графика обычно выбирают несколько значений аргумента $x$, вычисляют соответствующие значения $f(x)$, строят эти точки на плоскости и соединяют плавной линией.
Чем больше точек взято, тем точнее получается график. Однако практически график всегда строится с конечным числом точек, поэтому является приближенным.
Анализ свойств функции по графику
Графическое представление удобно для визуального анализа качественных характеристик функции:
- Нахождения областей возрастания/убывания
- Определения экстремумов
- Исследования ограниченности
- Изучения периодичности
График позволяет определить свойства функции приближенно и не требует громоздких аналитических преобразований.
Ошибки графического задания
Типичные ошибки при графическом задании функции:
- Неправильный масштаб по осям
- Слишком малое или слишком большое число точек
- Некорректное соединение точек
- Нарушение однозначности соответствия
Для предотвращения ошибок следует тщательно выбирать масштаб, количество точек и форму графика, а также визуально проверять однозначность.
Виды числовых функций
В зависимости от области определения, формы записи, характера поведения и других свойств различают много разных классов и видов функций. Рассмотрим некоторые наиболее важные.
Элементарные функции
К элементарным относят алгебраические степенные функции (многочлены, степень, корень), показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Они широко используются в математическом анализе.
