Что такое центральный угол в окружности

Центральный угол является важным элементом окружности в геометрии. Давайте разберемся, что это такое и каковы его свойства.

Определение центрального угла

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами этой окружности, проведенными к точкам на окружности.

На рисунке ABC - центральный угол. Его вершина A совпадает с центром окружности. Стороны AB и AC являются радиусами, проведенными к точкам B и C на окружности.

Свойства центрального угла

Рассмотрим основные свойства центрального угла:

1. Величина центрального угла равна 360° минус величина дуги между его сторонами. Если эта дуга меньше 180°, то величина центрального угла равна величине самой дуги.
2. Все центральные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу или хорду, равны.
3. Центральный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда равен 90°.

Также важное свойство центрального угла заключается в том, что он вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Применение центральных углов

Центральные углы широко используются при решении различных геометрических задач, в частности:

• Для нахождения неизвестных углов в конфигурациях с окружностью
• При вычислении длин отрезков, связанных с окружностью
• При построении конфигураций, содержащих окружность

Например, если известна величина вписанного угла и дуга, на которую он опирается, то используя свойства центрального угла можно найти сам центральный угол.

Центральный угол в задачах

Давайте рассмотрим конкретный пример применения центрального угла для решения задачи:

Центральный угол АОВ на 17° больше острого вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол АСВ.

Решение:

1. Пусть центральный угол АОВ равен x°
2. Тогда вписанный угол АСВ, согласно свойствам, равен x/2°
3. Из условия: x = (x/2 + 17)°
4. Отсюда: x = 2*17 = 34°
5. Значит, искомый угол АСВ равен x/2 = 17°

Ответ: 17°

Как видно из решения, использование свойств что такое центральный угол центрального угла позволяет достаточно просто найти искомый вписанный угол.

Доказательство равенства центрального и вписанного углов

Давайте докажем ранее упомянутое важное свойство, что центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Рассмотрим произвольный центральный угол AOC и вписанный угол ABC, опирающиеся на одну и ту же дугу AC окружности с центром в точке O.

1. Проведем хорду BC
2. Соединим точки A и B с центром O
3. Получим два треугольника AOB и BOC с общим углом B
4. В этих треугольниках углы при вершине O равны, так как являются центральными углами, опирающимися на общую дугу AC
5. Значит, треугольники AOB и BOC подобны
6. Из пропорции подобия имеем: AO/OB = BO/CO
7. Но AO = OB = CO, так как это радиусы одной окружности
8. Следовательно, ∠AOB = 2∠ABC

Таким образом, центральный угол AOC вдвое больше вписанного угла ABC, что и требовалось доказать.

Нахождение длин отрезков с помощью центрального угла

Центральный угол можно использовать и для нахождения длин некоторых отрезков, связанных с окружностью. Рассмотрим это на конкретном примере.

Дана окружность с центром O и произвольной точкой A на ней. Требуется найти длину хорды AB, если известно, что центральный угол AOB равен 30°.

1. Обозначим радиус окружности через R
2. Тогда в треугольнике AOB угол AOB = 30°
3. А два других угла равны 75°, так как сумма углов треугольника = 180°
4. По теореме косинусов для треугольника AOB:
   AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2·AO·OB·cosAOB
5. Подставляя известные значения, получаем: AB^2 = R^2 + R^2 - 2·R·R·cos30° = 2·R^2 - R^2·√3
6. Отсюда находим искомую длину: AB = √(2 - √3)·R

Аналогично, зная величину центрального угла и радиус, можно найти длину любого отрезка, связанного с окружностью - хорды, расстояния от центра до хорды и т.д.

Определение сектора

Еще одним важным применением центрального угла является нахождение площадей секторов.

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Иными словами, сектор - это площадь самого центрального угла.

Для вычисления площади сектора используется формула:

S_{сектора} = (α/360)·π·R²

где α - величина центрального угла в градусах, R - радиус окружности.

Таким образом, зная радиус окружности и центральный угол, можно найти площадь соответствующего сектора.