Перпендикуляр является одним из фундаментальных понятий геометрии. От того, насколько четко мы представляем себе, что такое перпендикуляр, зависит понимание многих важных геометрических фактов и умение решать задачи. Давайте разберемся, что представляет собой перпендикуляр, как его строить и для чего он используется.
Определение перпендикуляра
Начнем с самого простого - определения понятия "перпендикуляр". В геометрии различают перпендикулярные прямые и перпендикулярные плоскости. Давайте последовательно разберем эти понятия.
Перпендикулярные прямые
Перпендикулярными называются две прямые, которые образуют при пересечении четыре прямых угла. Обозначается перпендикулярность знаком ⟂. Например: a ⟂ b - прямая а перпендикулярна прямой b.
Из определения перпендикулярных прямых следует, что они лежат в одной плоскости.
Рассмотрим на примере перпендикулярные прямые:
Здесь прямые а и b пересекаются под прямым углом, значит они перпендикулярны.
Перпендикуляр к прямой
Часто приходится строить перпендикуляр не ко всей прямой, а只 к какой-то ее части. Например, провести перпендикуляр к прямой из заданной точки. В этом случае дается следующее определение:
Перпендикуляром к прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов точку пересечения этих прямых.
Здесь отрезок АВ является перпендикуляром к прямой с, так как один его конец В лежит на прямой с, а сам отрезок АВ перпендикулярен прямой с.
Перпендикуляр к плоскости
Аналогично вводится понятие перпендикуляра к плоскости:
Перпендикуляром к плоскости называется прямая, перпендикулярная ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.
То есть если прямая перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
На рисунке показан перпендикуляр РК к плоскости α:
Так как отрезок РК перпендикулярен прямой t, лежащей в плоскости α, то отрезок РК является общим перпендикуляром к плоскости α.
Построение перпендикуляра к прямой
Рассмотрим основные способы построения перпендикуляра к прямой:
- С помощью циркуля
- С помощью транспортира
- С помощью чертежного треугольника
Построение перпендикуляра с помощью циркуля
Этот способ основан на свойстве касательной к окружности. Из точки Р, в которой нужно построить перпендикуляр, проводим произвольную окружность, пересекающую прямую в точках A и B. Затем из точки Р проводим касательные к этой окружности и находим точку их пересечения Q. Отрезок PQ как раз и является искомым перпендикуляром:
Такой способ удобен при построениях с помощью циркуля и линейки.
Построение перпендикуляра транспортиром
Если нужно построить перпендикуляр с помощью транспортира, то все просто - откладываем от точки Р угол 90°:
Этот способ самый быстрый, но требует наличия транспортира.
Построение перпендикуляра с помощью чертежного треугольника
Чертежный треугольник также позволяет легко построить перпендикуляр. Для этого одну из его сторон, образующих прямой угол, прикладываем к прямой, а другую сторону этого угла совмещаем
Полученный отрезок РК будет перпендикуляром к данной прямой.
Такой способ прост и нагляден, позволяет обойтись без измерительных инструментов.
Применение перпендикуляра
Теперь, когда мы разобрали, что такое перпендикуляр и как его строить, давайте рассмотрим, где и для чего он применяется.
Высота треугольника
Одно из основных применений перпендикуляра - это построение высоты треугольника. Согласно определению:
Высотой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с прямой, содержащей противоположную сторону (или ее продолжение) и перпендикулярной этой стороне.
Как видим, высота треугольника является частным случаем перпендикуляра, построенного из вершины к противоположной стороне. Высота имеет важное геометрическое свойство - все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.
Вычисление площади треугольника
Еще одно важное применение высоты треугольника - вычисление его площади. По теореме, площадь треугольника равна произведению длины одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне, деленному на 2:
Эта формула широко используется на практике для вычислений.
Применение в стереометрии
Понятие перпендикуляра широко используется также в стереометрии - разделе геометрии, изучающем фигуры в пространстве.
Рассмотрим некоторые примеры.
Перпендикулярность прямой и плоскости
В пространстве прямая может быть перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости. Это обобщение понятия перпендикулярности с плоскости на пространство.
Призма и пирамида
У призмы и пирамиды боковые грани перпендикулярны основаниям. Это одно из важных свойств этих многогранников.
Ортогональное проецирование
В черчении широко используется ортогональное проецирование - построение проекций фигуры на плоскости, перпендикулярные ее ребрам или граням. Это позволяет по двум проекциям восстановить форму фигуры в пространстве.
Расстояние от точки до прямой
Еще одно важное применение перпендикуляра - это нахождение расстояний.
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. По теореме такой перпендикуляр единственный.
Зная координаты точки и уравнение прямой, можно найти длину перпендикуляра и вычислить расстояние от точки до прямой.
Аналогично определяется расстояние от точки до плоскости через длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Это применяется в различных геометрических задачах на вычисление расстояний.
