Как происходит умножение матрицы на вектор

Умножение матриц и векторов - одна из важнейших операций в линейной алгебре. Давайте разберемся, как именно происходит умножение матрицы на вектор, из чего это следует и почему так важно.

Основные понятия линейной алгебры

Прежде чем перейти непосредственно к умножению матрицы на вектор, напомним несколько базовых определений линейной алгебры.

• Векторное пространство - это множество векторов, на котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
• Базис - это система векторов, разлагаясь по которой, любой вектор пространства представляется единственным образом.
• Координаты вектора в данном базисе - это коэффициенты в разложении вектора по данному базису.

Рассмотрим теперь понятие линейного отображения . Это отображение L из одного векторного пространства V в другое W, которое обладает двумя свойствами:

1. L(u + v) = L(u) + L(v) для любых u,v из V (свойство линейности)
2. L(αu) = αL(u) для любого скаляра α и любого u из V

Иными словами, линейное отображение сохраняет операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Умножение матрицы на вектор

Теперь давайте посмотрим, как вводится умножение матрицы на вектор. Пусть задано линейное отображение L из пространства V в пространство W. Зафиксируем в этих пространствах базисы {e₁,...,e_n} и {f₁,...,f_m} соответственно.

Тогда для произвольного вектора x из V в координатах x = Σαiei его образ L(x) представим в координатах относительно базиса в W как

L(x) = L(Σαiei) = ΣαiL(ei)

Получаем, что линейное отображение L задается своими значениями на базисных векторах. Эти значения формируют матрицу отображения L в выбранных базисах. А формула выше как раз и есть правило умножения этой матрицы на вектор.

Умножение матриц

Для умножения матриц сделаем следующий шаг. Рассмотрим два линейных отображения L и M и их композицию K = L°M.

Аналогично предыдущему, для произвольного вектора x получим соотношение для координат:

K(x) = L(M(x))

Заменяя координаты векторов их представлениями через матрицы отображений в базисах, после преобразований получим формулу:

K = L·M

Это и есть правило умножения матриц. Оно естественным образом вытекает из того, как действует композиция линейных отображений.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим теперь несколько важных свойств умножения матриц:

1. Ассоциативность: (A·B)·C = A·(B·C) для любых согласованных матриц A, B, C
2. Некоммутативность: в общем случае A·B ≠ B·A
3. Единичная матрица: A·E = E·A = A, где E - единичная матрица

Первое свойство позволяет не заботиться о порядке умножения в произведении из нескольких матриц. Второе свойство говорит о том, что порядок матриц в произведении важен.

Примеры умножения

Рассмотрим теперь конкретные примеры умножать матриц и векторов в Excel.

Пусть заданы матрица A размера 3x2 и вектор-столбец b размера 2x1:

Тогда в Excel их умножение матрицы на вектор записывается так:

А вот пример умножения матрицы C размера 2x3 на матрицу A:

Умножение матрицы на число

Если задана квадратная матрица B порядка 3 и число α=2, то умножение матрицы на число выглядит так:

Как видно, каждый элемент матрицы умножается на данное число.

Некоторые приложения

Операции с матрицами и векторами лежат в основе многих задач линейной алгебры и ее приложений в других областях:

• Решение систем линейных уравнений
• Вычисление определителей
• Нахождение собственных значений матриц
• Метод наименьших квадратов в статистике

Вычисление обратной матрицы

Одним из важных применений операций с матрицами является нахождение обратной матрицы. Напомним, что если произведение матрицы A на некоторую матрицу X равно единичной матрице E, то X называется обратной к A и обозначается A^-1:

A · A^-1 = E

Для нахождения обратной матрицы часто используют метод Гаусса или вычисление алгебраических дополнений.

Метод Гаусса

Этот метод основан на приведении исходной матрицы к диагональному виду с помощью элементарных преобразований строк. Затем обратная матрица строится на основе преобразованной.

Алгебраические дополнения

Здесь обратная матрица находится за счет вычисления дополнений элементов по формулам Крамера. Этот метод эффективен для матриц небольшого порядка.

Особые матрицы

Рассмотрим некоторые виды матриц, обладающих специальными свойствами при умножении:

• Симметричные (A = A^T)
• Кососимметричные (A = -A^T)
• Ортогональные (A^-1 = A^T)

Для таких матриц справедливы дополнительные тождества, упрощающие вычисления с их участием.

Еще одно важное применение матричных операций - это нахождение определителей квадратных матриц. Определитель вычисляется по формуле разложения по строке/столбцу с использованием дополнительных подматриц.