Какое действие выполняется первым — деление или умножение? Правила по математике

Какое действие выполнить первым — умножение или деление? Этот вопрос часто ставит в тупик не только школьников, но и взрослых. Однако знание простых правил порядка выполнения арифметических действий поможет избежать ошибок в решении математических задач. Давайте разберемся!

Почему важно соблюдать порядок действий в математических выражениях

Когда мы работаем с математическими выражениями, содержащими числа, знаки и операции, очень важно соблюдать правильную последовательность действий. Иначе результат будет неверным!

В 1560 году французский математик Пьер де ла Раме в своей книге «Алгебра» впервые сформулировал четкие правила выполнения последовательности арифметических действий.

К сожалению, даже сегодня простые на первый взгляд примеры часто решаются неправильно. Рассмотрим выражение 2 + 2 × 2. Многие на автомате ответят 6, однако верный ответ - 4. Причина ошибки в незнании приоритета арифметических действий.

Если порядок операций нарушен, результаты могут быть совершенно неверными. А это грозит и задачникам с красными пометками, и взрослым с ошибками в расчетах. Давайте разберемся, как избежать этого!

Основные правила выполнения арифметических действий

В математике принято выделять действия первой и второй степени. К первой относят сложение и вычитание, ко второй - умножение и деление.

• Умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
• Если нет скобок, сначала выполняют действия второй степени слева направо, затем первой.
• Выражения в скобках выполняются в первую очередь.

При вложенных скобках, когда одни скобки находятся внутри других, действия начинают выполнять с внутренних скобок.

Наглядно это можно представить так:

1. действия в скобках
2. умножение и деление
3. сложение и вычитание

Рассмотрим пример с несколькими арифметическими действиями:

2 + 3 × 5

Здесь нет скобок. Значит, в первую очередь выполняем умножение как действие второй степени - 3 × 5 = 15. Затем складываем полученный результат со вторым слагаемым - 2 + 15 = 17.

Алгоритм решения задач без скобок

Чтобы правильно решить задачу без скобок, придерживайтесь следующих шагов:

1. Определите, какие арифметические действия присутствуют в задаче - только первой степени или есть действия второй степени.

2. Если есть действия второй степени (умножение, деление), выполните их слева направо.

3. Затем последовательно слева направо выполните действия первой степени (сложение, вычитание).

Для наглядности можно обозначить порядок действий цифрами над знаками:

1) 10 ÷ 2 = 5 2) 2 × 3 = 6 3) 5 - 6 = 3

Рассмотрим еще один пример выражения без скобок:

17 - 5 × 6 : 3 - 2 + 4 : 2

1. Есть действия второй степени: умножение, деление.

2. 5 × 6 = 30; 30 : 3 = 10 (делаем слева направо)

3. 4 : 2 = 2

4. 17 – 10 – 2 = 5

5. 5 + 2 = 7

Ответ: 7.

Решение задач со скобками

Примеры по математике умножение и деление со скобками требуют особого подхода. Главное правило здесь - начинать вычисления с внутренних скобок и двигаться к внешним. Выражение внутри скобок при этом можно рассматривать как отдельную задачу.

Рассмотрим пример:

5 + (7 - 2 × 3) × (6 - 4) : 2

1. Во внутренних скобках: 2 × 3 = 6. Значит, 7 – 6 = 1.

2. Во внешних скобках: 6 – 4 = 2.

3. 1 × 2 = 2.

4. 2 : 2 = 1.

5. 5 + 1 = 6.

Ответ: 6.

При наличии нескольких вложенных скобок сохраняется тот же подход - от внутренних скобок к внешним:

1. ((2 + 3) × 5)
2. (5 × 5)
3. 25

Порядок действий при вычислении функций и степеней

Если в выражении встречаются степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции, сначала вычисляется значение функции, а затем применяются стандартные правила.

Например, выражение:

(3 + 1) × 2 + 62 : 3 - 7

1. 6² = 36

2. (3 + 1) × 2 = 8

3. 36 : 3 = 12

4. 8 + 12 = 20

5. 20 - 7 = 13

Ответ: 13.

Такой порядок действий позволяет избежать ошибок и получить верный результат вычислений.

Рекомендации по применению правил на практике

Чтобы легко ориентироваться в порядке выполнения арифметических действий, можно использовать следующие мнемонические правила:

• СкоУмДеСлВы - сначала Скобки, затем Умножение и Деление, потом Сложение и Вычитание.
• ФВеСеПе - сначала Функция, затем действия Второй степени, потом действия Первой степени.

Также полезно решать как можно больше тренировочных заданий и примеров. Это поможет выработать привычку соблюдать верную последовательность какое действие выполняется первым деление умножение.

Типичные ошибки и их исправление

Рассмотрим наиболее распространенные ошибки, связанные с порядком выполнения действий:

• Неверное определение приоритета между действиями разных степеней.
• Нарушение последовательности в скобках и вне их.
• Неправильный порядок при вычислении функций и степеней.

Чтобы вовремя обнаружить ошибку, обязательно проверяйте себя, сверяя с правилами. Если ответ не совпадает с верным, проанализируйте ход решения и найдите операцию, которая была выполнена в неправильном порядке.

Программы и приложения для тренировки

Существует множество полезных тренажеров и тестов, помогающих отработать порядок арифметических действий:

• Приложение "Математика" для Android и iOS
• Онлайн-калькулятор и проверка решения на сайте "Знанио"
• Тренажер "Порядок действий" от портала "Учи.ру"

Такие программы позволяют в игровой форме закрепить знание правил и избежать типичных ошибок.

Какое действие выполняется первым - умножение или деление?

Итак, подводя итог всему вышесказанному, еще раз уточним ответ на вопрос "какое действие выполняется первым деление умножение".

1. Если есть скобки, то первым делом выполняются действия в них.

2. Если скобок нет, то сначала идет умножение и деление, потом сложение и вычитание.

3. Умножение и деление равноправны, выполняются слева направо.

4. При вычислении функций сначала находится значение функции.

Запомнив эти основные моменты и тренируясь в решении задач, можно с легкостью определять верный порядок операций.

Интересные факты о порядке действий

Порядок арифметических действий имеет давнюю и любопытную историю.

• В Древнем Египте и Вавилоне уже применялись правила последовательности вычислений.
• Современные обозначения +, -, ×, ÷ придумал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц в XVII веке.
• Многие известные математики внесли вклад в формирование порядка действий, в том числе Декарт и Ньютон.

Кроме того, с порядком действий связано немало мифов и заблуждений, особенно в отношении деления на ноль и вычислений со скобками.

Популярные вопросы о порядке действий

Рассмотрим ответы на наиболее частые вопросы о порядке арифметических действий.

1. Почему умножение и деление важнее сложения и вычитания?

   Так как умножение и деление - это операции обратные друг другу, они логично имеют одинаковый приоритет.

2. А что будет, если поделить на ноль?

   Деление на ноль запрещено и математически не определено. Это основное правило математики.

3. Можно ли быстро выучить все эти правила?

   Да, используя мнемонические приемы, тренировочные задания и специальные приложения.

4. Что делать, если мой ответ не совпадает с правильным?

   Необходимо найти ошибку в ходе решения и проанализировать, какое правило порядка действий было нарушено.

Альтернативные способы обозначения порядка действий

Помимо традиционных правил с использованием скобок, были предложены и другие способы задания очередности операций, например:

• Цветовое выделение разных действий
• Разделение на отдельные строки в порядке выполнения
• Группирование с помощью фигурных скобок

Однако на практике они не получили широкого распространения.

Плюсы и минусы разных способов обозначения порядка действий

Давайте сравним основные преимущества и недостатки традиционного подхода и альтернативных способов задания очередности операций.

Традиционные скобки

Плюсы:

• Простота и наглядность
• Удобно при большом количестве вложений

Минусы:

• При многочисленных скобках возможны ошибки

Цветовое выделение

Плюсы:

• Наглядно отличаются разные действия

Минусы:

• Неудобно в рукописных записях
• Ограниченное количество цветов

Разделение на строки

Плюсы:

• Хорошо видна последовательность

Минусы:

• Громоздко при большом количестве операций

Как видим, традиционный подход все еще остается оптимальным благодаря простоте и универсальности.

Перспективы развития системы обозначений

С развитием информационных технологий появляются новые возможности для усовершенствования способов задания очередности операций.

Например, в электронных документах и математических редакторах можно использовать:

• интерактивные подсказки при наведении
• всплывающие окна с порядком действий
• автоматическое выделение приоритетных операций

Однако пока такие технологии не получили широкого распространения.