Бутылка Клейна: какая она

Геометрический объект, впоследствии получивший название «бутылка Клейна», был впервые описан в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном. Что же он собой представляет? Объект этот (а точнее, геометрическая или топологическая поверхность) в нашем трехмерном мире существовать просто не может. Все модели, которые выставляются на продажу в магазинах сувениров, имеют вид, лишь дающий отдаленное представление о том, что же такое бутылка Клейна.

Для большей наглядности она описывается так: представьте бутылку с очень длинным горлышком. Затем мысленно сделайте в ней два отверстия: одно в стенке, а второе в днище. Затем загните горлышко, вставьте его в отверстие в стенке и выведите наружу через отверстие в днище. Полученный объект и будет проекцией объекта четырехмерного пространства, которым и является настоящая бутылка Клейна, в нашем трехмерном пространстве.

Описание бутылки Клейна языком математических терминов или формул ничего не скажет непрофессионалу. Многих ли удовлетворит такое определение: бутылка Клейна – это неориентируемое многообразие (или поверхность), обладающее рядом свойств. После слова «свойств» можно выстроить длинный ряд, состоящий из тригонометрических функций, цифр и греческих и латинских букв. Но это может только запутать неподготовленного человека, уже получившего представление о том, чем является проекция бутылки в трехмерном пространстве.

Интересный факт: название «бутылка Клейна» этот объект получил, скорее всего, из-за ошибки или описки переводчика. Дело в том, что Клейн в его определении употребил слово Fläche, то есть «поверхность» по-немецки. При «путешествии» из Германию в другие страны это слово трансформировалось в похожее по написанию Flasche (бутылка). Затем термин вернулся в страну происхождения уже в новом, измененном виде, да таким и остался навсегда.

Для многих деятелей культуры (в первую очередь писателей-фантастов) оказался притягательным сам термин «бутылка Клейна». Применение его в качестве атрибута, а порой и главного действующего «лица», стало признаком «интеллектуальной» фантастики. Таков, например, рассказ «Последний иллюзионист», принадлежащий перу Брюса Элиота. По сюжету ассистент фокусника расправляется со своим патроном, который делал трюки с четырехмерной бутылкой Клейна. Забравшийся в бутылку иллюзионист так и остается наполовину погруженным в нее. По мнению автора, эту бутылку нельзя разбить, не повредив содержимого. Так ли это на самом деле – сказать не может никто. По крайней мере, математики, которые, возможно, могли бы ответить на этот вопрос, им не озадачивались, для науки это неактуально.

Изредка в специально изготовленные бутылки Клейна в рекламных целях разливают вино. Правда, изготовить такую бутылку из стекла технически сложно, для этого требуется стеклодув экстра-класса. Поэтому она имеет достаточно высокую стоимость и применяется нечасто. А отработка технологии и постановка производства таких бутылок на поток не имеет смысла, ведь для этого потребуется отрабатывать методику заполнения бутылки жидкостью (тут тоже есть свои сложности). Да и ощущение необычности и новизны будет быстро вытеснено неудобством при разлитии вина из такой бутылки по фужерам.