Производная синуса угла равна косинусу того же угла

Дана простейшая функция тригонометрии у = Sin(х), она дифференцируема в каждой своей точке из всей области определения. Необходимо доказать, что производная синуса любого аргумента равна косинусу того же угла, то есть у’ = Cos(х).

Производная синуса

Доказательство основывается на определении производной функции

Зададим х (произвольное) в некоторой малой окрестности Δх конкретной точки х0. Покажем значение функции в ней и в точке х, чтобы найти приращение заданной функции. Если Δх ― приращение аргумента, то новый аргумент - это х0+Δx = х, значение данной функции при заданном значении аргумента у(х) равно Sin(х0+Δx), значение функции в конкретной точке у(х0) тоже известно.

Теперь имеем Δу= Sin(х0+Δх)-Sin(х0) ― полученное приращение функции.

По формуле синуса суммы двух неодинаковых углов будем преобразовывать разность Δу.

Δу = Sin(х0)·Cos(Δх)+Cos(х0)·Sin(Δx) минус Sin(х0) = (Cos(Δx)-1)·Sin(х0)+Cos(х0)·Sin(Δх).

Выполнили перестановку слагаемых, сгруппировали первое с третьим Sin(х0), вынесли общий множитель - синус - за скобки. Получили в выражении разность Cos(Δх)-1. Осталось сменить знак перед скобкой и в скобках. Зная, чему равно 1-Cos(Δх), сделаем замену и получим упрощенное выражение Δу, которое затем разделим на Δх.
Δу/Δх будет иметь вид: Cos(х0)·Sin(Δх)/Δх-2·Sin2(0,5·Δх)·Sin(х0)/Δх. Это и есть отношение приращения функции к допущенному приращению аргумента.

Осталось найти предел полученного нами отношения lim при Δх, стремящегося к нулю.

Производная от синуса

Известно, что предел Sin(Δх)/Δx равен 1, при данном условии. А выражение 2·Sin2(0,5·Δх)/Δх в полученном частном подведем преобразованиями к произведению, содержащему в качестве множителя первый замечательный предел: числитель и знеменатель дроби разделим на 2, квадрат синуса заменим произведением. Вот так:
(Sin(0,5·Δx)/(0,5· Δx))·Sin(Δx/2).
Предел этого выражения при Δх, стремящемся к нулю, будет равен числу ноль (1 умножить на 0). Выходит, что предел отношения Δy/Δх равен Cos(х0)·1-0, это и есть Cos(х0), выражение, которое не зависит от Δх, стремящегося к 0. Отсюда следует вывод: производная синуса любого угла х равна косинусу х, запишем так: у’ = Cos(х).

Полученная формула занесена в известную таблицу производных, где собраны все элементарные функции

Производная синуса в квадрате

При решении задач, где встречается производная синуса, можно пользоваться правилами дифференцирования и готовыми формулами из таблицы. Например: найти производную простейшей функции у=3·Sin(х)-15. Воспользуемся элементарными правилами дифференцирования, выноса числового множителя за знак производной, и вычисления производной постоянного числа (она равна нулю). Применим табличное значение производной синуса угла х, равное Cos(х). Получаем ответ: y' = 3·Cos(x)-O. Эта производная, в свою очередь, тоже является элементарной функцией у = З·Cos(х).

Производная синуса в квадрате от любого аргумента

При вычислении данного выражения (Sin2(х))’ необходимо вспомнить, как дифференцируется сложная функция. Итак, у = Sin2(х) ― является степенной функцией, так как синус в квадрате. Аргументом ее является тоже тригонометрическая функция, сложный аргумент. Результат в этом случае равен произведению, первый множитель которого производная квадрата данного сложного аргумента, а второй ― производная от синуса. Вот как выглядит правило дифференцирования функции от функции: (u(v(х)))' равна (u(v(х)))'·(v(х))'. Выражение v(х) ― сложный аргумент (внутренняя функция). Если дана функция "игрек равен синусу в квадрате х", то производная этой сложной функции будет у' = 2·Sin(х)·Cos(x). В произведении первый удвоенный множитель ― производная известной степенной функции, а Cos(х) ― производная синуса, аргумента сложной квадратичной функции. Окончательный результат можно преобразовать, воспользовавшись тригонометрической формулой синуса двойного угла. Ответ: производная равна Sin(2·x). Эта формула легко запоминается, ею часто пользуются как табличной.

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментарии 0
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.