Вы не забыли, как решать неполное квадратное уравнение?

Как решать неполное квадратное уравнение? Известно, что оно является частным вариантом равенства ах²+вх+с = о, где а, в и с - вещественные коэффициенты при неизвестном х, и где а ≠ о, а в и с будут нулями - одновременно или порознь. Например, с = о, в ≠ о или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.

Уточним

Трехчлен второй степени равен нулю. Первый его коэффициент а ≠ о, в и с могут принимать любые значения. Значение переменной х тогда будет корнем уравнения, когда при подстановке обратит его в верное числовое равенство. Остановимся на вещественных корнях, хотя решениями уравнения могут быть и комплексные числа. Полным принято называть уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен о, а ≠ о, в ≠ о, с ≠ о.
Решим пример. 2х²-9х-5 = о, находим
D = 81+40 = 121,
D положительный, значит корни имеются, х₁ = (9+√121):4 = 5, а второй х₂ = (9-√121):4 = -о,5. Проверка поможет убедиться, что они верные.

Вот поэтапное решение квадратного уравнения

Через дискриминант можно решить любое уравнение, в левой части которого известный квадратный трехчлен при а ≠ о. В нашем примере. 2х²-9х-5 = 0 (ах²+вх+с = о)

• Находим сначала дискриминант D по известной формуле в²-4ас.
• Проверяем, каким будет значение D: у нас больше нуля, бывает равным нулю или меньше.
• Знаем, что если D › о, квадратное уравнение имеет всего 2 разных действительных корня, их обозначают х₁ обычно и х₂,
  вот как вычислили:
  х₁ = (-в+√D):(2а), а второй: х₂ = (-в-√D):(2а).
• D = o ― один корень, или, говорят, два равных:
  х₁ равно х₂ и равно -в:(2а).
• И наконец, D ‹ o означает, что уравнение не имеет никаких вещественных корней.
  

Рассмотрим, какие бывают неполные уравнения второй степени

1. ах²+вх = o. Свободный член, коэффициент с при х⁰, здесь равен нулю, в ≠ o.
   Как решать неполное квадратное уравнение такого вида? Выносим х за скобки. Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно нулю.
   x(ax+b) = o, это может быть, когда х = о или когда ax+b = o.
   Решив 2-е линейное уравнение, имеем x = -в/а.
   В результате имеем корни х₁ = 0, по вычислениям x₂ = -b/a_.
2. Теперь коэффициент при х равен о, а с не равен (≠) о.
   x²+с = о. Перенесем с в правую часть равенства, получим x² = -с. Это уравнение только тогда имеет вещественные корни, когда -с положительное число (с ‹ о),
   х₁ тогда равен √(-с), соответственно х₂ ― -√(-с). В противном случае уравнение совсем не имеет корней.
3. Последний вариант: b = c= o, то есть ах² = о. Естественно, такое простенькое уравнение имеет один корень, x = о.

Частные случаи

Как решать неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь возмем любые виды.

• В полном квадратном уравнении второй коэффициент при х ― четное число.
  Пусть k = o,5b. Имеем формулы для вычисления дискриминанта и корней.
  D/4 = k²- ас, корни вычисляются так х_1,2 = (-k±√(D/4))/а при D › o.
  x = -k/a при D = o.
  Нет корней при D ‹ o.
• Бывают приведенные квадратные уравнения, когда коэффициент при х в квадрате равен 1, их принято записывать x² +рх+ q = o. На них распространяются все вышеприведенные формулы, вычисления же несколько проще.
  Пример, х²-4х-9 = 0. Вычисляем D: 2²+9, D = 13.
  х₁ = 2+√13, х₂ = 2-√13.
• Кроме того, к приведенным легко применяется теорема Виета. В ней говорится, что сумма корней уравнения равна –p, второму коэффициенту с минусом (имеется ввиду противоположный знак), а произведение этих же корней будет равно q, свободному члену. Проверьте, как легко можно было бы устно определить корни этого уравнения. Для неприведенных (при всех коэффициентах, не равных нулю) эта теорема применима так: сумма x₁+x₂ равна -в/а, произведение х₁·х₂ равно с/a.

Сумма свободного члена с и первого коэффициента а равна коэффициенту b. В этой ситуации уравнение имеет не менее чем один корень (легко доказывается), первый обязательно равен -1, а второй –с/а, если он существует. Как решать неполное квадратное уравнение, можно проверить самостоятельно. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых соотношениях между собой

• x²+x = o, 7х²-7 = o.
• Сумма всех коэффициентов равна о.
  Корни у такого уравнения - 1 и с/а. Пример, 2х²-15х+13 = o.
  x₁ = 1, х₂ = 13/2.

Существует ряд других способов решения разных уравнениий второй степени. Вот, например, метод выделения из данного полинома полного квадрата. Графических способов несколько. Когда часто имеешь дело с такими примерами, научишься «щелкать» их, как семечки, ведь все способы приходят на ум автоматически.