Как найти стороны прямоугольного треугольника? Основы геометрии

Катеты и гипотенуза – стороны прямоугольного треугольника. Первые – это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90^о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного треугольника (фигура известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c² (квадрат гипотенузы) = a²+b² (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется "египетским". Интересно то, что радиус окружности, которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

• Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, – бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
• При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. Площадь фигуры можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30^о, 45^о и 60^о.

• При угле, который равен 30^о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
• Если угол 45^о, значит, второй острый угол также 45^о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
• Свойство угла в 60^о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30^о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

1. через высоту и сторону, на которую она опускается;
2. по формуле Герона;
3. по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:

1. Теорема Пифагора. Ее суть заключается в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В евклидовой геометрии данное соотношение является ключевым. Использовать формулу можно, если дан треугольник, к примеру, SNH. SN – гипотенуза, и ее необходимо найти. Тогда SN²=NH²+HS².
   
2. Теорема косинусов. Обобщает теорему Пифагора: g²=f²+s²-2fs*cos угла между ними. Например, дан треугольник DOB. Известны катет DB и гипотенуза DO, необходимо найти OB. Тогда формула принимает данный вид: OB²=DB²+DO²-2DB*DO*cos угла D. Существует три следствия: угол треугольника будет остроугольным, если из суммы квадратов двух сторон вычесть квадрат длины третьей, полученный результат должен быть меньше нуля. Угол – тупоугольный, в том случае, если данное выражение больше нуля. Угол – прямой при равенстве нулю.
3. Теорема синусов. Она показывает зависимость сторон к противолежащим углам. Иными словами, это отношение длин сторон к синусам противолежащих углов. В треугольнике HFB, где гипотенузой является HF, будет справедливо: HF/sin угла B=FB/sin угла H=HB/sin угла F.