Возведение числа в натуральную степень означает его непосредственное повторение собственным сомножителем в натуральное число раз. Число, повторяющееся в качестве сомножителя – это основание степени, а число, указывающее на количество одинаковых множителей, называют показателем степени. Полученный результат выполненных действий и есть степень. Например, три в шестой степени означает повторение числа три в виде множителя шесть раз.
Основанием степени может выступать любое число, отличное от нуля.
Вторая и третья степени числа имеют специальные названия. Это, соответственно, квадрат и куб.
За первую степень числа принимают само же это число.
Для положительных чисел также определена степень, имеющая рациональный показатель. Как всем известно, любое рациональное число записывается в виде дроби, числитель которой является целым, знаменатель же – натуральным, то есть целым положительным, отличным от единицы.
Степень с рациональным показателем представляет из себя корень степени, равной знаменателю показателя степени, а подкоренное выражение – это основание степени, возведенное в степень, равную числителю. Например: три в 4/5 равно корню пятой степени из трех в четвертой.
Отметим некоторые свойства, вытекающие непосредственно из рассматриваемого определения:
- любое положительное число в рациональной степени – положительно;
- значение степени с рациональным показателем не зависит от формы его записи;
- если основание отрицательное, то рациональная степень этого числа не определена.
При положительном основании свойства степени верны независимо от показателя.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. Умножая степени, имеющие одинаковые основания, основание оставляют без изменения и складывают показатели. Например: при умножении трех в пятой степени на три в седьмой получают три в двенадцатой степени (5+7=12) .
2. При делении степеней, имеющих одинаковые основания, их оставляют без изменения, а показатели вычитывают. Например: при делении трех в восьмой на три в пятой степени получают три в квадрате (8-5=3).
3. Когда степень возводят в степень, основание оставляют без изменения, а показатели перемножают. Например: при возведении 3 в пятой в седьмую получают 3 в тридцать пятой (5х7=35).
4. Чтобы возвести произведение в степень, в ту же возводится каждый из множителей. Например: при возведении произведения 2х3 в пятую получают произведение два в пятой на три в пятой.
5. Чтобы возвести дробь в степень, в ту же степень возводят числитель и знаменатель. Например: при возведении 2/5 в пятую получают дробь, в числителе которой – два в пятой, в знаменателе – пять в пятой.
Отмеченные свойства степени справедливы и для дробных показателей.
Свойства степени с рациональным показателем
Введем некоторые определения. Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в нулевую, равно единице.
Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в степень с отрицательным целым показателем – это дробь с числителем единица и знаменателем, равным степени того же числа, но имеющего противоположный показатель.
Дополним свойства степени несколькими новыми, которые касаются рациональных показателей.
Степень с рациональным показателем не меняется при умножении или делении числителя и знаменателя его показателя на неравное нулю одно и то же число.
При основании больше единицы:
- если показатель положительный, то степень больше 1;
- при отрицательном – меньше единицы.
При основании меньше единицы, наоборот:
- если показатель положительный, то степень меньше единицы;
- при отрицательном – больше 1.
Когда показатель степени растет, то:
- растет сама степень, если основание больше единицы;
- убывает, если основание меньше единицы.
