Простейшие математические выражения стали известны людям еще в глубокой древности. В то же время постоянно шло совершенствование как самих операций, так и их записи на том или ином носителе.
В частности, в Древнем Египте, чьи ученые внесли заметный вклад как в развитие элементарной арифметики, так и в создание основ алгебры и геометрии, обратили внимание на то, что когда происходит умножение какого-либо числа на одно и то же число много раз, то на это тратится огромное количество ненужных усилий. Более того, такая операция вела к значительным финансовым затратам: согласно действовавшим тогда установкам на оформление любых записей, каждой действие с числом должно было подробно описываться. Если вспомнить, что даже самый простейший папирус стоил весьма внушительную сумму денег, то не стоит удивляться тем усилиям, которые египтяне приложили, чтобы найти выход из этой ситуации.
Решение нашел знаменитый Диофант Александрийский, который придумал специальный математический знак, который стал показывать, сколько раз необходимо умножить то или иное число на само себя. Впоследствии известный французский математик Р. Декарт усовершенствовал написание этого выражения, предложив при обозначении степени чисел просто приписывать ее в правом верхнем углу над основным числом.
Завершающим аккордом в письменном оформлении степени чисел стала деятельность небезызвестного Н. Шюке, который ввел в научный оборот сначала отрицательную, а затем и нулевую степень.
Что же означает фраза «возвести степень»? Для начала необходимо понять, что само по себе возведение в степень представляет собой одну из важнейших бинарных математических операций, суть которой состоит в неоднократном умножении числа на само себя.
В общем виде данная операция обозначается выражением «XY». В этом случае «X» будет называться основанием степени, а «Y» - ее показателем. В данном случае «возвести в степень» можно будет расшифровать как «умножить «X» на само себя «Y» раз».
Степени чисел, как и большинство других математических элементов, обладают определенными свойствами:
1. При возведении в нулевую степень любого числа, отличного от нуля (как положительного, так и отрицательного) получится единица.
х^^0 = 1
2. Степени чисел, где показатели имеют отрицательное значение, следует преобразовать в выражение с положительным показателем
х-а =1/х^а
3. Для того чтобы осуществить умножение чисел со степенями, следует помнить, что данная операция возможна только в том случае, если у них одинаковые основания. При этом умножение чисел со степенями осуществляется в соответствии со следующим правилом: основание остается без изменений, а к показателю одного прибавляется величина показателей остальных степеней.
x^y x^z = x^y+z
4. В том случае, когда происходит деление степеней, необходимо придерживаться того же правила, только вместо суммы в показателе будет разность.
x^y /x^z = x^y-z
5. Еще одна важнейшее свойство степеней связано с теми ситуациями, когда требуется возвести в степень сам показатель степени. В этом случае необходимо перемножить оба эти показателя.
(x^y)^z = x^y.z
6. В ряде случаев есть необходимость расписать степень произведения через степень чисел. В этом случае необходимо иметь в виду, что степень произведения вычисляется в соответствии вот с этим правилом:
(xyz)^a = x^a y^a z^a
7. Если возникнет необходимость расписать степень частного, то первое, на что следует обратить внимание, это то, что основание знаменателя не может быть равно нулю. В остальном же необходимо придерживаться следующей формулы:
(x/y)^a = x^a / y^a
Определенные трудности встречаются тогда, когда требуется возвести в степень основание, выражение которого меньше нуля. Результат в этом случае может быть как отрицательным, так и положительным. Зависеть он будет от показателя степени, а именно от того, каким числом – нечетным или четным – этот показатель являлся.
