Пифагор утверждал, что число лежит в основании мира наравне с основными стихиями. Платон считал, что число связывает феномен и ноумен, помогая познавать, соизмерять и делать выводы. Арифметика происходит от слова "арифмос" - число, начало начал в математике. Ним можно описать любой объект - от элементарного яблока до абстрактных пространств.
Потребности как фактор развития
На начальных этапах становления общества потребности людей ограничивались необходимостью вести счет - один мешок зерна, два мешка зерна и т. д. Для этого достаточно было натуральных чисел, множество которых представляет собой бесконечную положительную последовательность целых чисел N.
Позже, с развитием математики как науки, возникла необходимость в отдельном поле целых чисел Z - оно включает в себя отрицательные величины и ноль. Его появление на бытовом уровне было спровоцировано тем, что в первичной бухгалтерии необходимо было как-то зафиксировать долги и убытки. На научном уровне отрицательные числа сделали возможным решение простейших линейных уравнений. Помимо прочего, теперь стало возможным изображение тривиальной системы координат, т. к. появилась точка отсчета.
Следующим шагом стала необходимость ввода дробных чисел, так как наука не стояла на месте, все новые и новые открытия требовали теоретической базы для нового толчка роста. Так появилось поле рациональных чисел Q.
Наконец, рациональность перестала удовлетворять запросы, ведь все новые выводы требовали обоснования. Появились поле действительных чисел R, труды Евклида о несоизмеримости некоторых величин в силу их иррациональности. То есть древнегреческие математики позиционировали число не только как константу, но и как абстрактную величину, которая характеризуется отношением несоизмеримых величин. Благодаря тому что появились действительные числа, "увидели свет" такие величины, как "пи" и "е", без которых современная математика не смогла бы состояться.
Финальным нововведением стало комплексное число C. Оно ответило на ряд вопросов и опровергло ранее введенные постулаты. Из-за стремительного развития алгебры исход был предсказуем - имея действительные числа, решение многих задач было невозможно. Например, благодаря комплексным числам выделились теории струн и хаоса, расширились уравнения гидродинамики.
Теория множеств. Кантор
Понятие бесконечности во все времена вызывало споры, так как его нельзя было ни доказать, ни опровергнуть. В контексте математики, которая оперировала строго выверенными постулатами, это проявлялось наиболее явно, тем более что теологический аспект все еще имел вес в науке.
Однако благодаря работам математика Георга Кантора все с течением времени встало на свои места. Он доказал, что бесконечных множеств существует бесконечное множество, и то, что поле R больше поля N, пусть они оба и не имеют конца. В середине XIX века его идеи громогласно называли бредом и преступлением против классических, незыблемых канонов, однако время все расставило на свои места.
Основные свойства поля R
Действительные числа обладают не только теми же свойствами, что и подможества, которые в них включены, но и дополнены иными в силу масшабности своих элементов:
- Ноль существует и принадлежит полю R. c + 0 = c для любого c из R.
- Ноль существует и принадлежит полю R. c х 0 = 0 для любого c из R.
- Отношение c : d при d ≠ 0 существует и является действительным для любых c, d из R.
- Поле R упорядочено, то есть если c ≤ d, d ≤ c, то c = d для любых c, d из R.
- Сложение в поле R является коммутативным, то есть c + d = d + c для любых c, d из R.
- Умножение в поле R является коммутативным, то есть c х d = d х c для любых c, d из R.
- Сложение в поле R является ассоциативным, то есть (c + d) + f = c + (d + f) для любых c, d, f из R.
- Умножение в поле R ассоциативно, то есть (c х d) х f = c х (d х f) для любых c, d, f из R.
- Для каждого числа из поля R существует ему противоположное, такое что c + (-c) = 0, где c, -c из R.
- Для каждого числа из поля R существует ему обратное, такое что c х c-1 = 1, где c, c-1 из R.
- Единица существует и принадлежит R, так что c х 1 = c, для любого c из R.
- Имеет силу распределительный закон, так что c х (d + f) = c х d + c х f, для любых c, d, f из R.
- В поле R ноль не равен единице.
- Поле R является транзитивным: если c ≤ d, d ≤ f, то c ≤ f для любых c, d, f из R.
- В поле R порядок и сложение взаимосвязаны: если c ≤ d, то c + f ≤ d + f для любых c, d, f из R.
- В поле R порядок и умножение взаимосвязаны: если 0 ≤ c, 0 ≤ d, то 0 ≤ c х d для любых c, d из R.
- Как отрицательные, так и положительные действительные числа непрерывны, то есть для любых c, d из R найдется такое f из R, что c ≤ f ≤ d.
Модуль в поле R
Действительные числа включают в себя такое понятие, как модуль.
Комплексные и действительные числа. Что общего и в чем различия?
По большому счету, комплексные и действительные числа - это одно и то же, разве что к первому присоединилась мнимая единица i, квадрат которой равен -1. Элементы полей R и С можно представить в виде следующей формулы:
- c = d + f х i, где d, f принадлежат полю R, а i - мнимая единица.
Чтобы получить c из R в данном случае f просто считают равным нулю, то есть остается только действительная часть числа. В силу того что поле комплексных чисел обладает тем же набором свойств, что и поле действительных, f х i = 0, если f = 0.
Касаемо практических различий, то, например, в поле R квадратное уравнение не решается, если дискриминант отрицательный, тогда как поле C не налагает подобное ограничение благодаря введению мнимой единицы i.
Итоги
"Кирпичи" аксиом и постулатов, на которых базируется математика, не сменяются. На часть из них в связи с увеличением информации и введением новых теорий кладутся следующие "кирпичи", которые в перспективе могут стать основой для очередного шага. Например, натуральные числа, несмотря на то что являются подмножеством действительного поля R, не теряют своей актуальности. Именно на них основывается вся элементарная арифметика, с которой начинается познание человеком мира.
С практической точки зрения действительные числа выглядят как прямая. На ней можно выбрать направление, обозначить начало отсчета и шаг. Прямая состоит из бесконечного числа точек, каждой из которых соответствует единственное действительное число, вне зависимости от того, рациональное оно или нет. Из описания ясно, что речь идет о понятии, на котором строится как математика в целом, так и математический анализ в частности.
