Арифметический квадратный корень и его свойства

Все мы в школе изучали арифметические квадратные корни на уроках алгебры. Бывает, если знания не освежать, то они быстро забываются, то же и с корнями. Данная статья будет полезна восьмиклассникам, желающим освежить свои знания в этой области, и другим школьникам, ведь с корнями мы работаем и в 9, и в 10, и в 11 классах.

История корня и степени

Еще в древности, а конкретно - в Древнем Египте людям для выполнения операций над числами стали необходимы степени. Когда не было такого понятия, египтяне записывали произведение одного и того же числа по двадцать раз. Но вскоре было придумано решение проблемы - число раз, которое число надо умножить само на себя, стали записывать в правом верхнем углу над ним, и такая форма записи сохранилась до наших дней.

А история квадратного корня началась около 500 лет назад. Его обозначали по-разному, и только в семнадцатом веке Рене Декарт ввел такой знак, которым мы пользуемся и по сей день.

Что такое квадратный корень

Начнем с объяснения того, что же такое квадратный корень. Квадратный корень из некоторого числа c - это такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат будет равно с. При этом c больше или равно нулю.

Чтобы внести число под корень, мы возводим его в квадрат и ставим над ним знак корня:

3² = 9, 3 = √9

Также мы не можем получить значение квадратного корня отрицательного числа, так как в квадрате любое число является положительным, то есть:

c² ≥ 0, если √с - отрицательное число, то с² < 0 - что противоречит правилу.

Для быстрого вычисления квадратных корней необходимо знать таблицу квадратов чисел.

Свойства

Рассмотрим алгебраические свойства квадратного корня.

1) Для извлечения квадратного корня из произведения надо извлечь корень из каждого множителя. То есть его можно расписать как произведение корней множителей:

√ac = √a × √c, например:

√36 = √4 × √9

2) При извлечении корня из дроби надо извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя, то есть расписать как частное их корней.

3) Значение, полученное при извлечении квадратного корня из числа, всегда равно модулю этого числа, так как модуль может быть только положительным:

√с² = ∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Для возведения корня в какую-либо степень, мы возводим в нее подкоренное выражение:

(√с)⁴ = √с⁴, например:

(√2)⁶ = √2⁶ = √64 = 8

5) Квадрат арифметического корня из с равен самому этому числу:

(√с)² = с.

Корни иррациональных чисел

Допустим, посчитать корень из шестнадцати легко, но как извлекать корень из таких чисел, как 7, 10, 11?

Число, корень которого является бесконечной непериодической дробью, называют иррациональным. Извлечь корень из него самостоятельно мы не можем. Мы способны только сравнивать его с другими числами. Например, взять корень из числа 5 и сравнить его с √4 и √9. Понятно, что √4 < √5 < √9, тогда 2 < √5 < 3. Значит, значение корня из пяти находится где-то в промежутке межу двойкой и тройкой, но десятичных дробей между ними много, и подбирать каждую - сомнительный способ нахождения корня.

Можно сделать эту операцию на калькуляторе - это самый простой и быстрый способ, но в 8 классе из арифметического квадратного корня никогда не потребуют извлекать иррациональные числа. Необходимо только запомнить приблизительные значения корня из двух и корня из трех:

√2 ≈ 1,4,

√3 ≈ 1,7.

Примеры

Теперь на основе свойств квадратного корня решим несколько примеров:

1) √17² - 8²

Вспоминаем формулу разности квадратов:

√(17-8) (17+8) = √9 × 25

Мы знаем свойство квадратного арифметического корня - чтобы извлечь корень из произведения, нужно извлечь его из каждого множителя:

√9 × √25 = 3 × 5 = 15

2) √3 (2√3 + √12) = 2 (√3)² + √36

Применяем еще одно свойство корня - квадрат арифметического корня из числа равен самому этому числу:

2 × 3 + 6 = 12

Важно! Зачастую, начиная работать и решать примеры с арифметическими квадратными корнями, школьники совершают следующую ошибку:

√12 + 3 = √12 + √3 - так делать нельзя!

Мы не можем извлекать корень из каждого слагаемого. Такого правила нет, но его путают с извлечением корня из каждого множителя. Если бы у нас была такая запись:

√12 × 3, то справедливо было бы написать √12 × 3 = √12 × √3.

А так мы можем только записать:

√12 + 3 = √15