Шестиугольная призма и ее основные характеристики

Изучением призм занимается пространственная геометрия. Важными их характеристиками являются заключенный в них объем, площадь поверхности и число составляющих элементов. В статье рассмотрим все эти свойства для шестиугольной призмы.

О какой призме пойдет речь?

Призма шестиугольная - это фигура, образованная двумя многоугольниками, имеющими шесть сторон и шесть углов, и шестью параллелограммами, соединяющими отмеченные шестиугольники в единое геометрическое образование.

На рисунке изображен пример этой призмы.

Отмеченный красным цветом шестиугольник называется основанием фигуры. Очевидно, что число ее оснований равно двум, причем оба они идентичны. Желто-зеленоватые грани призмы называются ее боковыми сторонами. На рисунке они представлены квадратами, но в общем случае они являются параллелограммами.

Шестиугольная призма может быть наклонной и прямой. В первом случае углы между основанием и боковыми сторонами не являются прямыми, во втором они равны 90^o. Также эта призма может быть правильной и неправильной. Правильная шестиугольная призма обязательно должна быть прямой и иметь правильный шестиугольник в основании. Приведенная выше призма на рисунке этим требованиям удовлетворяет, поэтому она называется правильной. Далее в статье будем изучать только ее свойства, как общий случай.

Элементы

Для любой призмы главными ее элементами являются ребра, грани и вершины. Шестиугольная призма не является исключением. Приведенный выше рисунок позволяет посчитать количество этих элементов. Так, граней или сторон мы получаем 8 (два основания и шесть боковых параллелограммов), число вершин составляет 12 (по 6 вершин для каждого основания), количество ребер шестиугольной призмы равно 18 (шесть боковых и 12 для оснований).

В 1750-е годы Леонард Эйлер (швейцарский математик) установил для всех полиэдров, к которым относится призма, математическую связь между числами указанных элементов. Эта связь имеет вид:

число ребер = число граней + число вершин - 2.

Указанные выше цифры удовлетворяют этой формуле.

Диагонали призмы

Все диагонали шестиугольной призмы можно разделить на два типа:

• те, которые лежат в плоскостях ее граней;
• те, которые принадлежат всему объему фигуры.

Рисунок ниже показывает все эти диагонали.

Видно, что D₁ - это диагональ боковой стороны, D₂ и D₃ - диагонали всей призмы, D₄ и D₅ - диагонали основания.

Длины диагоналей боковых сторон между собой равны. Вычислить их легко, используя всем известную теорему Пифагора. Обозначим символом a длину стороны шестиугольника, символом b - длину бокового ребра. Тогда диагональ имеет длину:

D₁ = √(a² + b²).

Диагональ D₄ также легко определяется. Если вспомнить, что правильный шестиугольник вписывается в окружность радиусом a, то D₄ является диаметром этой окружности, то есть получим следующую формулу:

D₄ = 2*a.

Диагональ D₅ основания найти несколько сложнее. Для этого следует рассмотреть равносторонний треугольник ABC (см. рис.). Для него AB = BC = a, угол ABC равен 120^o. Если из этого угла опустить высоту (она же будет биссектрисой и медианой), тогда половина основания AC будет равно:

AC/2 = AB*sin(60^o) = a*√3/2.

Сторона AC является диагональю D₅, поэтому получаем:

D₅ = AC = √3*a.

Теперь остается найти диагонали D₂ и D₃ правильной шестиугольной призмы. Для этого нужно увидеть, что они являются гипотенузами соответствующих прямоугольных треугольников. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:

D₂ = √(D₄² + b²) = √(4*a² + b²);

D₃ = √(D₅²+ b²) = √(3*a²+ b²).

Таким образом, самой большой диагональю для любых значений a и b является D₂.

Площадь поверхности

Чтобы понять, о чем идет речь, проще всего рассмотреть развертку этой призмы. Она показана на рисунке.

Видно, что для определения площади всех сторон рассматриваемой фигуры необходимо рассчитать отдельно площадь четырехугольника и площадь шестиугольника, затем умножить их на соответствующие целые числа, равные количеству каждого n-угольника в призме, и сложить полученные результаты. Шестиугольников 2, прямоугольников 6.

Для площади прямоугольника получаем:

S₁ = a*b.

Тогда площадь боковой поверхности равна:

S₂ = 6*a*b.

Для определения площади шестиугольника проще всего воспользоваться соответствующей формулой, которая имеет вид:

S_n = n/4*a²*ctg(pi/n).

Подставляя в это выражение число n равное 6, получаем площадь одного шестиугольника:

S₆ = 6/4*a²*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a².

Это выражение следует умножить на два, чтобы получить площадь оснований призмы:

S_os = 3*√3*a².

Остается сложить S_os и S₂, чтобы получить полную площадь поверхности фигуры:

S = S_os + S₂ = 3*√3*a² + 6*a*b = 3*a*(√3*a + 2*b).

Объем призмы

После того как была получена формула для площади шестиугольного основания, вычислить объем, заключенный в рассматриваемую призму, проще простого. Для этого следует лишь умножить площадь одного основания (шестиугольника) на высоту фигуры, длина которой равна длине бокового ребра. Получаем формулу:

V = S₆*b = 3*√3/2*a²*b.

Отметим, что произведение основания на высоту дает значение объема абсолютно любой призмы, включая наклонную. Однако в последнем случае расчет высоты осложняется, поскольку она уже не будет равна длине бокового ребра. Что касается шестиугольной правильной призмы, то значение ее объема является функцией двух переменных: сторон a и b.