Многогранники привлекали внимание математиков и ученых даже в древние времена. Египтяне построили пирамиды. А греки изучали «правильные многогранники». Их иногда называют Платоновскими твердыми телами. «Традиционные многогранники» состоят из плоских граней, прямых ребер и вершин. Но главным вопросом всегда было то, какие правила должны выполнять эти отдельные части, а также то, какие дополнительные глобальные условия необходимо выполнить, чтобы объект был квалифицирован как многогранник. Ответ на этот вопрос будет представлен в статье.
Проблемы в определении
Из чего состоит эта фигура? Многогранник представляет собой замкнутую сплошную форму, которая имеет плоские грани и прямые ребра. Потому первой проблемой его определения можно назвать именно стороны фигуры. Не все грани, лежащие в плоскостях, всегда являются признаком многогранника. В качестве примера возьмем «треугольный цилиндр». Из чего он состоит? Часть его поверхности трех попарно пересекающихся вертикальных плоскостей не может считаться многоугольниками. Причина в том, что она не имеет вершин. Поверхность такой фигуры сформирована на основе трех лучей, которые встречаются в одной точке.
Еще одна проблема — плоскости. В случае «треугольного цилиндра» она заключается в их неограниченных частях. Фигура считается выпуклой, если отрезок прямой, соединяющий любые две точки в множестве, также находится в нем. Приведем одно из их важных свойств. У выпуклых множеств им является то, что множество точек, общих для набора, является таким же. Существует еще один вид фигур. Это невыпуклые двумерные многогранники, которые имеют либо выемки, либо отверстия.
Фигуры, не являющиеся многогранниками
Плоское множество точек может быть разным (например, невыпуклым) и не удовлетворять обычному определению многогранника. Даже через него оно ограничено сечениями прямых. Линии выпуклого многогранника состоят из выпуклых фигур. Однако этот подход к определению исключает фигуру, уходящую в бесконечность. Ее примером могут быть три луча, которые не встречаются в одной точке. Но при этом они соединяются с вершинами другой фигуры. Традиционно важным для многогранника было то, что он состоит из плоских поверхностей. Но со временем понятие расширилось, что привело к значительному улучшению понимания исходного «более узкого» класса многогранников, а также появлению нового, в более широком определении.
Правильный
Введем еще одно определение. Правильный многогранник — это тот, в котором каждая грань является конгруэнтными регулярными выпуклыми многоугольниками, а все вершины «одинаковы». Это означает, что в каждой вершине имеется одинаковое количество правильных многоугольников. Используйте это определение. Так можно найти пять правильных многогранников.
Первые шаги к теореме Эйлера для многогранников
Греки знали о полигоне, который сегодня называется пентаграммой. Этот многоугольник можно было бы называть регулярным, потому что все его стороны имеют равную длину. Также есть еще одно важное замечание. Угол между двумя последовательными сторонами всегда один и тот же. Однако он при рисовании в плоскости не определяет выпуклого множества, а стороны многогранника пересекаются друг с другом. Тем не менее, так было не всегда. Математики давно рассматривали идею «невыпуклых» правильных многогранников. Пентаграмма была в их числе. Допускались и «звездные многоугольники». Были обнаружены несколько новых примеров «правильных многогранников». Теперь их называют полиэдрами Кеплера-Пуансо. Позже Г. С. М. Кокстер и Бранко Грюнбаум расширили правила и обнаружили другие «регулярные многогранники».
Полиэдральная формула
Систематическое исследование этих фигур началось сравнительно рано в истории математики. Леонард Эйлер был первым, кто заметил, что для выпуклых трехмерных многогранников справедлива формула, связывающая число их вершин, граней и ребер.
Она выглядит так:
V + F - E = 2,
где V – число многогранных вершин, F — число ребер многогранников, а E — число граней.
Леонард Эйлер – швейцарский математик, который считается одним из величайших и производительных ученых всех времен. Он большую часть жизни был слеп, но потеря зрения послужила ему поводом стать еще более продуктивным. Существует несколько формул, названных в его честь, и ту, которую мы только что рассмотрели, иногда называют формулой многогранников Эйлера.
Есть одно уточнение. Формула Эйлера, однако, работает только для многогранников, которые следуют определенным правилам. Они заключаются в том, что форма не должна иметь никаких отверстий. И недопустимо, чтобы она пересекала саму себя. Многогранник также не может состоять из двух частей, соединенных вместе, например, двух кубов с одной вершиной. Эйлер упомянул о результате своего исследования в письме к Христиану Гольдбаху в 1750 году. Позднее он опубликовал две работы, в которых описал, как попытался найти доказательство своего нового открытия. На самом деле существуют формы, которые дают другой ответ на V + F - E. Ответ на сумму F + V - E = Х называется эйлеровой характеристикой. У нее есть еще один аспект. Некоторые формы могут даже иметь характеристику Эйлера, которая является отрицательной
Теория графов
Иногда утверждается, что Декарт вывел теорему Эйлера раньше. Хотя этот ученый обнаружил факты о трехмерных многогранниках, которые позволили бы ему вывести нужную формулу, он не сделал этого дополнительного шага. Сегодня Эйлеру приписывают «отцовство» теории графов. Он решил проблему моста Кенигсберга, используя его идеи. Но ученый не смотрел на многогранник в контексте теории графов. Эйлер попытался дать доказательство формулы, основанной на разложении полиэдра на более простые части. Эта попытка не соответствует современным стандартам для доказательства. Хотя Эйлер не дал первого правильного обоснования своей формулы, нельзя доказать догадки, которые не были сделаны. Однако результаты, нашедшие обоснование позже, позволяют использовать теорему Эйлера и в настоящее время. Первое доказательство получил математик Адриан Мари Лежандр.
Доказательства формулы Эйлера
Эйлер сначала сформулировал полиэдральную формулу как теорему о многогранниках. Сегодня ее часто трактуют в более общем контексте связанных графов. Например, как структуры, состоящие из точек и отрезков линий, соединяющих их, которые находятся в одной части. Огюстен Луи Коши был первым человеком, который нашел эту важную связь. Она и послужила доказательством теоремы Эйлера. Он, в сущности, заметил, что граф выпуклого многогранника (или то, что сегодня называется таковым) топологически гомеоморфен сфере, имеет плоский связный граф. Что это такое? Плоский граф — это тот, который был нарисован в плоскости таким образом, что его ребра встречаются или же пересекаются только в вершине. В этом и была найдена связь теоремы Эйлера и графов.
Одним из признаков важности результата является то, что Дэвид Эпштейн смог собрать семнадцать различных доказательств. Существует много вариантов обоснования полиэдральной формулы Эйлера. В некотором смысле наиболее очевидными доказательствами являются методы, использующие математическую индукцию. Результат можно доказать, проводя ее по числу либо ребер, граней либо вершин графа.
Доказательство Радемахера и Теплица
Особенно привлекательно следующее доказательство Радемахера и Теплица, основанное на подходе Фон Штаудта. Для того чтобы обосновать теорему Эйлера, предположим, что G - связанный граф, встроенный в плоскость. Если он имеет схемы, можно исключить одно ребро из каждой из них таким образом, чтобы сохранить свойство, при котором тот остается связанным. Существует взаимно однозначное соответствие между удаленными частями для перехода к связанному графу без замыкания и тех, которые не являются бесконечной гранью. Это исследование привело к классификации «ориентируемых поверхностей» с точки зрения так называемой характеристики Эйлера.
Иордановая кривая. Теорема
Основной тезис, который прямо или косвенно используется при доказательстве формулы многогранников теоремы Эйлера для графов, зависит от Иордановой кривой. Эта идея связана с обобщением. Она гласит, что любая простая замкнутая кривая делит плоскость на три множества: точки на ней, внутри и вне ее. Поскольку интерес к многогранной формуле Эйлера развился в девятнадцатом веке, было сделано много попыток обобщить ее. Это исследование заложило основу для развития алгебраической топологии и связало ее с алгеброй и теорией чисел.
Группа Мебиуса
Вскоре было обнаружено, что некоторые поверхности могут быть «ориентированы» согласованным образом только локально, но не глобально. Известная группа Мебиуса служит иллюстрацией такой поверхности. Она была обнаружена несколько ранее Иоганном Листингом. Эта концепция включает понятие рода графа: наименьшее количество дескрипторов g. Оно должно быть добавлено к поверхности сферы, и тот может быть встроен на расширенную поверхность таким образом, чтобы ребра встречались только в вершинах. Оказывается, что любая ориентируемая поверхность в евклидовом пространстве может рассматриваться как сфера с определенным числом ручек.
Диаграмма Эйлера
Ученый совершил еще одно открытие, которое используется до сих пор. Это так называемая диаграмма Эйлера — графическое изображение, состоящее из кругов, обычно используемое для иллюстрации отношений между множествами или группами. Диаграммы обычно включают цвета, которые смешиваются в областях, где круги перекрываются. Множества же изображаются именно кругами или овалами, хотя для них также могут быть использовать другие фигуры. Включение представлено перекрытием эллипсов, называемых эйлеровыми кругами.
Они представляют множества и подмножества. Исключение составляют неперекрывающиеся круги. Диаграммы Эйлера тесно связаны с другим графическим изображением. Их часто путают. Это графическое изображение называется диаграммами Венна. В зависимости от рассматриваемых множеств обе версии могут выглядят одинаково. Однако на диаграммах Венна перекрывающиеся круги необязательно указывают на общность между множествами, а только на возможную логическую связь, если их метки не находятся в пересекающемся круге. Оба варианта были приняты для преподавания теории множеств в рамках нового математического движения 1960-х годов.
Теоремы Ферма и Эйлера
Эйлер оставил заметный след в математической науке. Алгебраическая теория чисел обогатилась теоремой, названной в его честь. Она также является следствием другого важного открытия. Это так называемая общеалгебраическая теорема Лагранжа. Имя Эйлера также связано с малой теоремой Ферма. В ней говорится, что если p — простое число и a — целое число, не делящееся на p, то:
аp-1 - 1 делится на p.
Иногда это же открытие носит другое название, чаще всего встречающееся в иностранной литературе. Звучит оно как "рождественская теорема Ферма". Все дело в том, что открытие стало известно благодаря письму ученого, отправленного в канун 25 декабря 1640 года. Но само утверждение встречалось и раньше. Его использовал другой ученый по имени Альбер Жирар. Ферма лишь пытался доказать его теорию. Автор намекает в другом своем письме на то, что его вдохновил метод бесконечного спуска. Но никаких доказательств он не привел. Позже к этому же методу обратиться и Эйдер. А после него - множество других известных ученых, в том числе Лагранж, Гаусс и Минкоский.
Особенности тождеств
Малая теорема Ферма называется также частным случаем теоремы из теории чисел, принадлежащей Эйлеру. В этой теории функция тождества Эйлера подсчитывает положительные целые числа до заданного целого числа n. Они взаимно просты по отношению к n. Теорема Эйлера в теории чисел записывается с использованием греческой буквы φ и выглядит как φ (n). Ее можно более формально определить как число целых чисел k в диапазоне 1 ≤ k ≤ n, для которого наибольший общий делитель gcd (n, k) равен 1. Запись φ (n) также может называться фи-функцией Эйлера. Целые числа k этой формы иногда называются тотативными. В основе теории чисел функция тождества Эйлера является мультипликативной, означающей, что если два числа m и n взаимно просты, то φ(mn) = φ(m)φ(n). Она также играет ключевую роль в определении системы шифрования RSA.
Функция Эйлера была введена в 1763. Однако в то время математик не выбрал для ее обозначения какого-либо конкретного символа. В публикации 1784 г. Эйлер изучил эту функцию подробнее и выбрал греческую букву π, чтобы обозначить ее. Джеймс Сильвестр придумал термин «тоталь» для этой функции. Поэтому она также упоминается как тоталь Эйлера. Тоталем φ (n) положительного целого n, большего чем 1, определяется число положительных целых чисел, меньших n, которые взаимно просты до n.φ (1) определяется как 1. Функция Эйлера или функция phi (φ) являются очень важной теоретико-числовой функцией, имеющей глубокое отношение к простым числам и так называемому порядку целых чисел.
