Как найти катет в прямоугольном треугольнике: формулы и примеры расчета

Находить катеты в прямоугольном треугольнике пригодится каждому: от школьников до инженеров и строителей. В этой статье вы узнаете, как вычислить размеры катетов при разных исходных данных: по гипотенузе, углам, другому катету. Рассмотрим несколько практических примеров с подробным решением.

1. Основные понятия и определения

Для начала давайте разберемся с терминологией.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам (прямой угол).

В нем выделяют:

• Гипотенуза – самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла. Обозначается буквой c.
• Катеты – две стороны, образующие прямой угол между собой. Обозначаются буквами a и b.

Размеры сторон связаны по теореме Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c² = a² + b²

Например, в "магическом треугольнике" со сторонами 3, 4 и 5 эта формула выполняется: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

2. Как найти катет по гипотенузе и углу

Рассмотрим ситуацию, когда известна гипотенуза (c) и один из острых углов – например, α. Нам нужно найти соответствующий ему катет (a). Используем формулы тригонометрии:

sin α = <фрас>a</фрас> , cos α = <фрас>b</фрас>

Отсюда получаем:

Пример. Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 5 см и углом α = 30°. Требуется найти катет a.

Решение. По формуле вычисляем:

a = c ⋅ sin α = 5 см ⋅ sin 30° = 2,5 см

Ответ: катет a равен 2,5 см.

Аналогично можно найти катет b, воспользовавшись косинусом:

b = c ⋅ cos α = 5 см ⋅ cos 30° = 4,33 см

Проверим по теореме Пифагора: (2,5)² + (4,33)² ≈ 6,25 + 18,75 = 25 = (5)². Верно!

3. Как найти катет, если известен другой катет

Рассмотрим ситуацию, когда нам даны длины обоих катетов (a и b). Как найти гипотенузу?

Воспользуемся теоремой Пифагора:

c² = a² + b²

Пример. Даны катеты 4 и 3 см. Найти гипотенузу c.

Решение. Подставляем числа в формулу Пифагора:

c² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

Извлекаем квадратный корень: c = 5 см

4. Как найти катет по другому катету и углу

Теперь рассмотрим, как найти катет по известной длине другого катета и одному из углов (острому α или β). Здесь нам помогут тригонометрические формулы.

Например, если задан катет b и угол α, то искомый катет a вычисляется по формуле:

a = b ⋅ tg α

А если известен катет a и угол β, то формула для вычисления b будет такой:

b = a ⋅ ctg β

5. Как найти катет если известна гипотенуза и катет

Этот случай мы уже частично разбирали ранее. Как вычислить длину катета (допустим, a), если даны гипотенуза c и второй катет b?

Здесь также пригодится теорема Пифагора. Преобразуем ее формулу:

a = √(c² - b²)

Где знак √ означает извлечение квадратного корня. Давайте рассмотрим числовой пример.

6. Примеры расчета катетов в задачах

Рассмотрим несколько практических задач на вычисление катетов в прямоугольном треугольнике при различных исходных данных. Приведем их подробное пошаговое решение.

Задача 1

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 10 см и углом α = 30°. Требуется найти длину катета a.

Решение. Применим формулу для вычисления катета через гипотенузу и острый угол:

a = c ∙ sin α = 10 см ∙ sin 30° = 5 см

Ответ: длина катета a равна 5 см.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике один катет равен 12 см, а второй катет равен 5 см. Найти длину гипотенузы c.

Решение. Используем теорему Пифагора:

c2 = 122 + 52 c2 = 144 + 25 = 169 c = √169 = 13 (см)

Ответ: длина гипотенузы c равна 13 см.

Задача 3

Даны катет b = 6 см и острый угол α = 37°. Найти длину второго катета a.

Решение. Применим формулу для нахождения катета по другому катету и углу:

a = b ∙ tg α = 6 см ∙ tg 37° ≈ 3,8 см

Ответ: длина катета a ≈ 3,8 см.