Как найти радиус окружности зная хорду: описание, примеры

Для нахождения радиуса окружности по известной хорде используется несколько методов. Рассмотрим подробно каждый из них.

Использование теоремы Пифагора

Одним из распространенных способов является применение теоремы Пифагора. Для этого:

1. Опускаем перпендикуляр из центра окружности на хорду.
2. Получаем прямоугольный треугольник, у которого:
• гипотенуза - радиус окружности R
• один катет - высота от центра до хорды h
• другой катет - половина длины хорды l/2

По теореме Пифагора имеем:

R² = (l/2)² + h²

Отсюда находим радиус:

R = √((l/2)² + h²)

Таким образом, зная длину хорды l и высоты h, можно вычислить радиус R.

Использование тригонометрических соотношений

Еще один способ основан на применении тригонометрических формул для равнобедренного треугольника:

1. Соединяем концы хорды с центром окружности.
2. Получаем равнобедренный треугольник, у которого:
• основание - хорда длиной l
• две равные стороны - радиусы R
• угол между радиусами обозначим как α

Используем теорему синусов:

R/sin(α/2) = l/2

Отсюда:

R = l/(2*sin(α/2))

Таким образом, по длине хорды l и углу α можно найти радиус R.

Как найти радиус окружности зная хорду и угол

Если известна длина хорды и угол между радиусами окружности, то используем последнюю формулу:

R = l/(2*sin(α/2))

Где:

• R - радиус окружности
• l - длина хорды
• α - угол между радиусами

Подставляем числовые значения длины хорды и угла - получаем радиус.

Например, длина хорды равна 10 см, угол 60 градусов. Тогда:

R = 10 / (2*sin(60/2)) = 10 / sin30 = 10

Радиус окружности равен 10 см.

Таким образом, зная всего 2 параметра - длину хорды и угол между радиусами, можно легко найти радиус окружности с помощью тригонометрических формул.

Вывод формулы для расчета радиуса

Давайте выведем формулу для расчета радиуса окружности через хорду и высоту сегмента. Рассмотрим произвольную окружность с центром O. Пусть AB - хорда длиной l, a h - высота сегмента (расстояние от центра окружности до хорды).

1. Опустим перпендикуляр OC из центра окружности на хорду AB.
2. Точка пересечения перпендикуляра и хорды обозначим как C.
3. Получаем прямоугольный треугольник AOC.

OC^2 = OA^2 - AC^2 (по теореме Пифагора)

Но OC = h - высота сегмента, OA = OB = R - радиус окружности. Тогда:

h^2 = R^2 - (R - l/2)^2

Раскрываем скобки, приводим подобные:

R^2 = (l/2)^2 + h^2

Извлекаем корень - получаем искомую формулу:

R = √((l/2)^2 + h^2)

Геометрический смысл формулы

Полученная формула имеет простой геометрический смысл. Она показывает, что радиус окружности равен гипотенузе прямоугольного треугольника, катетами которого являются:

• Половина длины хорды
• Высота сегмента (расстояние от центра окружности до хорды)

Таким образом, зная всего лишь длину хорды и высоты сегмента, по теореме Пифагора можно найти радиус окружности.

Исследование зависимости радиуса от параметров хорды

Интересно исследовать, как меняется радиус окружности в зависимости от:

1. Длины хорды при фиксированной высоте сегмента
2. Высоты сегмента при фиксированной длине хорды

Для этого проанализируем полученную формулу:

R = √((l/2)^2 + h^2)

При увеличении l (длины хорды) радиус R возрастает. Это логично, так как с увеличением хорды растет и "размер" окружности.

При увеличении h (высоты сегмента) радиус R также возрастает. Чем больше высота, тем дальше центр окружности от хорды и, следовательно, больше радиус.