Арктангенс (обозначается arctg или atan) — это обратная тригонометрическая функция к тангенсу. Другими словами, если известен угол, то по нему можно найти значение тангенса этого угла. А если дано некое число, то с помощью арктангенса можно определить угол, тангенс которого равен этому числу.
Определение арктангенса
Формальное определение арктангенса выглядит так:
arctg x = y, если tg y = x
Где y — искомый угол в радианах или градусах, x — заданное число.
Область определения и область значений
Областью определения арктангенса являются все действительные числа (–∞; +∞).
Область значений арктангенса — интервал [–π/2; π/2] или в градусной мере [–90°; 90°]. Это связано с периодичностью тангенса и неоднозначностью обратной функции.
График функции arctg x
График арктангенса получается из графика тангенса заменой местами осей X и Y. Арктангенс возрастает на всей числовой прямой, имеет вертикальную асимптоту x = π/2 при x, стремящемся к +∞ и вертикальную асимптоту x = –π/2 при x, стремящемся к –∞:
Свойства арктангенса:
- Арктангенс непрерывен на всей числовой прямой
- Функция arctg x является нечетной: arctg(–x) = –arctg(x)
- Функция arctg x монотонна на всей области определения
- Для любого действительного числа x выполняется tg(arctg x) = x
Основные формулы
Рассмотрим основные тригонометрические формулы для арктангенса:
- arctg x + arctg y = arctg(x + y)/(1 − xy) (x, y ≠ ±1)
- arctg x − arctg y = arctg(x − y)/(1 + xy)
- arctg(x/y) = arctg x − arctg y
- arctg(x · y) = arctg x + arctg y
- arctg(x/y) = (arctg x + arctg y)/2 (x > 0, y > 0)
Также существуют формулы для нахождения производных, интегралов, разложения в ряд и выражения через другие функции.
Применение арктангенса
Арктангенс широко используется в различных областях:
- При решении уравнений и неравенств
- В вычислительной математике для обратного преобразования данных из системы координат в полярную
- В теории автоматического регулирования для анализа динамических систем
- При обработке изображений для восстановления искаженных или зашумленных данных
Одно из основных применений арктангенса — это нахождение углов треугольника по значениям его сторон. Например, используя теорему косинусов с арктангенсом можно найти один из углов треугольника, зная его стороны.
Что такое arctg
Итак, arctg это сокращенное обозначение для арктангенса - обратной тригонометрической функции к тангенсу. Арктангенс позволяет по заданному значению тангенса найти соответствующий ему угол.
Формально, arctg x - это число y (в радианах или градусах), для которого выполняется равенство: tg y = x.
Арктангенс широко используется в математике, физике, технике для обратного преобразования тригонометрических функций и решения уравнений, содержащих тангенс.
Arctg tg x
Рассмотрим формулу arctg tg x. В ней фигурируют как прямая тригонометрическая функция тангенс, так и ее обратная функция арктангенс.
Данное выражение имеет важное свойство:
arctg tg x = x, если –π/2 < x < π/2
Это свойство называется функциональным уравнением, и оно справедливо только на интервале определения главных значений арктангенса. То есть если взять tg любого угла от –π/2 до π/2, и затем вычислить его arctg, то мы вернемся к исходному значению угла.
Такое свойство используется при решении уравнений, доказательстве тождеств и в других задачах, где фигурирует тангенс и арктангенс.
Арктангенс y arctg x
Данное выражение объединяет в себе две обратные тригонометрические функции - арктангенс по переменной y и арктангенс по переменной x. Обычно такая запись встречается при описании функции y(x), где y зависит от x. Например:
y = arctg x
Здесь arctg x - это функция от независимой переменной x, а y - зависимая переменная, значение которой вычисляется по формуле через x. То есть для каждого заданного x с помощью arctg находится соответствующее значение y.
А в общем виде запись с двумя переменными может обозначать уравнение или тождество:
arctg y = arctg x
Здесь мы как бы приравниваем два арктангенса от разных переменных. И при определенных значениях x и y такое равенство может выполняться.
Вычисление арктангенса
Для вычисления значений арктангенса можно воспользоваться его определением через тангенс:
- Возьмем число, арктангенс которого нужно найти. Обозначим его за x.
- Решим уравнение: tg y = x относительно y. Получим значение угла y, тангенс которого равен x.
- Значение y и есть искомый arctg x. Проверим: tg (arctg x) = x.
Например, нужно вычислить arctg 2. Имеем:
- x = 2
- tg y = 2
- y = 63.4°
Значит, arctg 2 = 63.4°.
Вычисление арктангенса с калькулятором
Современные инженерные и научные калькуляторы имеют встроенную функцию вычисления arctg. Чтобы найти арктангенс на калькуляторе, нужно:
- Ввести число, арктангенс которого вычисляется
- Нажать кнопку arctg или atan
На калькуляторе вводится только аргумент функции x. А сам прибор выдает значение соответствующего угла y = arctg x.
Арктангенс в программировании
В языках программирования также реализована функция для вычисления арктангенса числа. Например, в Python есть функция math.atan(x), где x - аргумент.
import math x = 2 y = math.atan(x) print(y) # Выведет значение арктангенса числа x Аналогичные функции есть в MATLAB, C++, Java и других языках.
Вычисление производной арктангенса
Производная арктангенса имеет вид:
(arctg x)' = 1/(1 + x^2) Это означает, что чтобы найти производную arctg x, нужно вычислить выражение 1/(1 + x^2), где x - аргумент функции.
Например, производная arctg 3 равна:
(arctg 3)' = 1/(1 + 3^2) = 1/10 Знание производной arctg используется в дифференциальном исчислении, при нахождении касательных и экстремумов функций.
Обратные замены с арктангенсом
Часто в решении задач используется обратная замена переменной x = tg t. После этого в выражениях вместо x подставляется tg t, а в конце решения определяется t = arctg x.
Такая замена удобна при интегрировании выражений, содержащих тангенс, а также для решения некоторых уравнений и неравенств.
После подстановки x = tg t и преобразований полученного выражения, в конце решения находится t. А затем по формуле начальной замены вычисляется искомое значение переменной:
x = tg t ... t = ... x = tg (arctg x) = x 
