Коэффициент подобия - важная характеристика при работе с подобными фигурами в геометрии. Он показывает, во сколько раз одна фигура больше или меньше другой. Умение находить этот коэффициент быстро и точно может сильно упростить решение многих геометрических задач.
Определение коэффициента подобия
Коэффициент подобия (k) - это отношение линейных размеров одной фигуры к соответствующим линейным размерам другой фигуры. Например, если сторона треугольника ABC равна 6 см, а сторона подобного ему треугольника A1B1C1 - 18 см, то коэффициент подобия равен k = 18/6 = 3. Это значит, что треугольник A1B1C1 в 3 раза больше треугольника ABC.
Как находить коэффициент подобия
Для нахождения коэффициента подобия используется простое правило:
- Выбираем соответствующие друг другу линейные размеры фигур (стороны, диагонали и т.д.)
- Один размер делим на другой
- Полученное значение и есть коэффициент подобия
Рассмотрим это на конкретном примере с треугольниками.
Как найти коэффициент подобия треугольников
Пусть даны два подобных треугольника ABC и A1B1C1 со сторонами:
- AB = 16 см
- BC = 12 см
- AC = 20 см
- A1B1 = 48 см
- B1C1 = 36 см
- A1C1 = 60 см
Чтобы найти коэффициент подобия (k), возьмем любые соответствующие стороны и поделим большую на меньшую. Например:
k = A1B1 / AB = 48 / 16 = 3
Или
k = B1C1 / BC = 36 / 12 = 3
Как видно, в обоих случаях получился один и тот же коэффициент подобия, равный 3. Это означает, что треугольник A1B1C1 в 3 раза больше треугольника ABC.
Таким образом, для нахождения коэффициента подобия треугольников достаточно поделить любую сторону большего треугольника на соответствующую сторону меньшего.
Как находить коэффициент подобия
Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить алгоритм.
-
Даны два подобных треугольника XYZ и X1Y1Z1 со сторонами:
- XY = 10 см YZ = 8 см XZ = 12 см Copy code X1Y1 = 30 см Y1Z1 = 24 см X1Z1 = 36 см
Находим коэффициент подобия, поделив любую сторону большего треугольника на соответствующую сторону меньшего:
k = X1Y1 / XY = 30 / 10 = 3
-
Другой пример:
- AB = 5 см BC = 6 см AC = 7 см Copy code A1B1 = 15 см B1C1 = 18 см A1C1 = 21 см
k = A1B1 / AB = 15 / 5 = 3
Как видно из примеров, коэффициент подобия получается один и тот же, если брать соответствующие элементы фигур. Это важное свойство подобных фигур, которое часто используется при решении задач.
Как найти коэффициент подобия кубов
Рассмотрим теперь, как найти коэффициент подобия для объемных фигур, например кубов:
| Ребро куба ABCDEFGH | 4 см |
| Ребро куба A1B1C1D1E1F1G1H1 | 12 см |
Коэффициент подобия двух кубов равен отношению ребер этих кубов:
k = A1B1C1D1E1F1G1H1 / ABCDEFGH = 12 / 4 = 3
То есть куб A1B1C1D1E1F1G1H1 в 3 раза больше куба ABCDEFGH. Таким образом, алгоритм работает и для объемных фигур.
Знание коэффициента подобия позволяет решать многие практические задачи. Рассмотрим несколько примеров.
Масштабирование чертежей и карт
Чертежи и карты часто выполняются не в натуральную величину, а с уменьшением или увеличением размеров - т.е. в масштабе. Коэффициент подобия в этом случае и есть масштаб.
Например, если карта выполнена в масштабе 1:100 000, это означает, что расстояния на этой карте уменьшены в 100 000 раз по сравнению с реальностью. Зная масштаб, можно легко переводить расстояния с карты на местности и обратно.
Увеличение и уменьшение изображений
В полиграфии часто бывает необходимо увеличить или уменьшить исходное изображение. Коэффициент подобия в этом случае задает степень изменения размеров.
Например, нужно напечатать фотографию размером 10x15 см на листе формата A3. Определив коэффициенты подобия по сторонам, можно точно рассчитать итоговый размер изображения так, чтобы оно гармонично заполняло нужный формат.
Подбор одежды и обуви
Иногда нужно подобрать одежду или обувь для ребенка, исходя из размеров взрослых изделий. Зная коэффициент подобия (например, 0,7), можно легко определить нужный детский размер.
Вычисление площадей и объемов
Одно из главных применений коэффициента подобия - это вычисление площадей и объемов фигур. Используя свойства подобия, можно найти искомую величину, даже если не хватает данных в условии задачи.
Например, если известна площадь одного треугольника и коэффициент подобия, то площадь второго треугольника можно найти по формуле:
S2 = S1 * k2
А для объемов двух подобных кубов соответственно:
V2 = V1 * k3
Такие вычисления часто применяются на практике - например, при расчете объемов земляных работ или количества строительных материалов для сооружений.
