Амплитуда - один из ключевых параметров, характеризующих любые колебания. От величины амплитуды зависят особенности колебательного процесса, его восприятие и практическое применение.
Понятие амплитуды колебаний
Амплитуда колебаний - это максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в ходе колебательного процесса. Обозначается буквой A.
Например, при колебаниях груза на пружине амплитуда - это наибольшее смещение груза относительно положения равновесия вверх или вниз. При колебаниях звуковой волны амплитуда - максимальное отклонение воздушного давления от среднего значения.
Амплитуда характеризует размах колебаний и показывает, насколько сильно колеблется та или иная физическая величина.
Чем больше амплитуда колебаний, тем в более широком диапазоне изменяется колеблющаяся величина. Например, маятник с амплитудой в 5 см отклоняется от вертикали на +/- 5 см. А маятник с амплитудой 30 см отклоняется уже на +/- 30 см.
Связь амплитуды и периода колебаний
Важно отметить, что амплитуда колебаний не зависит от их периода или частоты. Маятник будет качаться с одинаковой частотой, независимо от размаха колебаний.
А вот наоборот, изменение периода или частоты влияет на амплитуду. Чем выше частота вынужденных колебаний приближается к собственной частоте колебательной системы, тем больше возрастает амплитуда.
Единицы измерения амплитуды
Поскольку амплитуда колебаний характеризует отклонение определенной физической величины от среднего значения, то единицы измерения амплитуды совпадают с единицами этой физической величины. Например:
- амплитуда смещения - метры (м)
- амплитуда скорости - метры в секунду (м/с)
- амплитуда ускорения - метры на секунду в квадрате (м/с2)
- амплитуда напряжения - вольты (В)
- амплитуда звуковых колебаний - паскали (Па)
Также используется безразмерная величина - относительная амплитуда колебаний, выраженная в процентах или долях единицы. Она показывает отношение амплитуды A к равновесному значению колеблющейся величины x0:
Aотн = A / x0
Формула для расчета амплитуды колебаний
Любые гармонические колебания могут быть описаны уравнением:
x = A sin(ωt + φ)
где:
- x - мгновенное значение колеблющейся величины
- A - амплитуда колебаний
- ω - циклическая частота
- t - время
- φ - начальная фаза
Из этого уравнения видно, что амплитуда колебаний A численно равна максимальному значению sin(ωt + φ). Поскольку модуль синуса не может превышать единицы, максимальное значение колеблющейся величины x равно амплитуде A.
Таким образом, зная уравнение гармонических колебаний, можно определить амплитуду как коэффициент перед sin(ωt + φ).
На практике амплитуду чаще онпеделяют обратным путем - по максимальному отклонению колеблющейся величины x. Если за время измерения зафиксированы значения x от -xm до +xm , то амплитуда колебаний равна этим максимальным значениям:
A = xm
Эту же формулу можно применить к графику колебаний, где по оси X откладывается время, а по оси Y - значения колеблющейся величины. Амплитуда колебаний численно равна максимальному отклонению графика по оси Y.
Амплитуда колебаний маятника
Рассмотрим определение амплитуды на конкретном примере - при колебаниях маятника. Маятник совершает гармонические колебания под действием силы тяжести. По мере отклонения от положения равновесия возрастает возвращающая сила, которая в конечном итоге возвращает маятник в прежнее состояние.
Для небольших углов отклонения φ (порядка 15° и менее) колебания нитяного маятника описывает формула:
φ = A sin(ωt)
где амплитуда A равна максимальному углу отклонения. Например, если маятник отклоняется от вертикали на 10° в одну сторону и на 10° в другую сторону, его амплитуда колебаний равна 10°.
Если же углы отклонения велики, используют следующее уравнение для амплитуды колебаний маятника:
A = l * sin(φm / 2)
где:
- l - длина подвеса маятника
- φm - максимальный угол отклонения при колебаниях
Это уравнение позволяет точно рассчитать амплитуду колебаний маятника при любых значениях максимального угла отклонения φm.
Амплитуда вынужденных колебаний
Помимо свободных колебаний, существуют также вынужденные колебания. Они возникают под действием внешней периодической силы, прикладываемой к колебательной системе.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. Если частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы, возникает явление резонанса - резкое возрастание амплитуды колебаний.
Для расчета амплитуды вынужденных колебаний используют следующую формулу:
A = F0 / √(k2m2 - m2ω2)2 + (bω)2)
где:
- A - амплитуда вынужденных колебаний
- F0 - амплитуда вынуждающей силы
- k - жесткость системы
- m - масса колеблющегося тела
- b - коэффициент затухания
- ω - частота вынуждающей силы
При резонансе знаменатель этой формулы обращается в ноль, что приводит к резкому возрастанию амплитуды. Это свойство используется, например, для усиления колебаний в радиотехнических устройствах.
Амплитуда колебаний силы тока
Рассмотрим еще один важный вид колебаний - колебания силы электрического тока в цепи. Сила тока, изменяющаяся по гармоническому закону, называется переменным током.
Для переменного тока амплитуда колебаний определяет максимальное мгновенное значение силы тока. Обозначается Ам.
Формула для расчета амплитуды переменного тока:
Ам = Im ax
где Im ax - максимальное мгновенное значение силы тока.
На практике амплитуда переменного тока используется для расчета действующих значений напряжения и тока. А по величине амплитуды можно судить об интенсивности колебаний носителей заряда в проводнике.
Зависимость амплитуды от параметров колебательной системы
Как уже было сказано, амплитуда колебаний зависит от ряда параметров самой колебательной системы.
Рассмотрим это на примере колебаний груза на пружине. Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна деформации или отклонению от положения равновесия. Отсюда следует, что жесткость пружины напрямую влияет на амплитуду свободных колебаний этой системы.
Чем выше жесткость пружины, тем быстрее растет сила упругости при отклонении груза от положения равновесия. И тем меньшее отклонение может совершить груз прежде чем сила упругости уравновесит силу тяжести и повернет груз обратно.
Таким образом, увеличение жесткости пружины приводит к уменьшению амплитуды колебаний. И наоборот, ослабление пружины вызывает рост амплитуды колебаний груза.
Изменение частоты колебаний от амплитуды
Хотя амплитуда свободных колебаний не зависит от их частоты, в некоторых случаях изменение амплитуды может влиять на частоту.
В частности, такой эффект наблюдается при колебаниях математического маятника. Частота его колебаний зависит от амплитуды, потому что с ростом отклонения от положения равновесия меняется длина дуги, описываемой грузом.
Чем выше амплитуда колебаний маятника, тем больше длина дуги и тем медленнее совершается одно колебание. Таким образом, увеличение амплитуды колебаний математического маятника приводит к небольшому уменьшению частоты.
Ограничение амплитуды в реальных системах
В реальных колебательных системах всегда присутствует хоть малое, но затухание колебаний. Оно вызвано потерями энергии на трение, выделение тепла, излучение звука и т.д.
Поэтому в реальности амплитуда колебаний не может расти до бесконечности. Рано или поздно потери энергии скажутся на размахе колебаний, и амплитуда ограничится неким предельным значением.
