Геометрический смысл определенных интегралов: выражение площади криволинейной фигуры

Геометрический смысл определенных интегралов позволяет эффективно вычислять площади сложных криволинейных фигур, ограниченных произвольными непрерывными кривыми. В этой статье на конкретных примерах покажем, как это делается.

1. Определение геометрического смысла определенных интегралов

Рассмотрим функцию y = f(x), непрерывную на отрезке [a; b]. Фигура, ограниченная графиком этой функции, осью абсцисс Ox и прямыми x = a, x = b, называется криволинейной трапецией.

1.1. Понятие криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция может иметь произвольную форму в зависимости от вида функции f(x). Например:

• Для f(x) = 2x + 1 получится трапеция с параллельными основаниями.
• Для f(x) = sin(x) трапеция будет изогнутой волной.
• Для f(x) = |x| возникнет ломаная фигура.

Площадь такой трапеции обозначается S и вычисляется по формуле:

S = ∫ab f(x) dx

1.2. Суть геометрического смысла

Интуитивно геометрический смысл заключается в следующем. Если взять очень узкие полоски под графиком функции f(x) и сложить их площади, то в пределе при бесконечно малой ширине полосок мы получим формулу для площади всей криволинейной трапеции.

1.3. Формальное определение через пределы и суммы

Формально геометрический смысл определенного интеграла выражается через предел интегральных сумм. Рассмотрим это подробнее.

Пусть на отрезке [a; b] взято n точек с координатами x0, x1, ..., xn. В каждой точке вычисляется значение функции f(xi). Затем строятся прямоугольники с основаниями Δxi = xi - xi-1 и высотами f(xi).

Площади этих прямоугольников складываются:

S_n = ∑ f(x_i)·Δx_i

Это и есть интегральная сумма. При увеличении числа прямоугольников n до бесконечности и уменьшении их ширины Δxi интегральная сумма стремится к площади S криволинейной трапеции:

S = limn→∞ Sn = limn→∞ ∑ f(xi)·Δxi = ∫ab f(x) dx

Этот предел и дает формальное определение геометрического смысла определенного интеграла.

2. Вычисление площадей простых фигур с помощью определенных интегралов

Рассмотрим конкретные примеры применения геометрического смысла для вычисления площадей некоторых простых фигур с помощью определенных интегралов.

2.1. Прямоугольник

Пусть задан прямоугольник с основанием from [a; b] и высотой h. Тогда его площадь выражается интегралом:

S = h ∫_a^b dx = h(b - a)

Например, для прямоугольника с a = 1, b = 3, h = 5 получаем:

S = 5 ∫₁³ dx = 5(3 - 1) = 10

2.2. Треугольник

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием [a; b] и высотой h. Его площадь дается выражением:

S = (1/2)h ∫_a^b dx = (1/2)h(b - a)

К примеру, для треугольника с a = 0, b = 4, h = 6 имеем:

S = (1/2)6 ∫₀⁴ dx = 12

Аналогично можно получить формулы и для других треугольников.

Далее рассмотрим вычисление более сложных фигур...

3. Вычисление площадей сложных фигур по частям

Для вычисления площадей сложных фигур, ограниченных произвольными кривыми, можно воспользоваться методом разбиения на более простые части.

3.1. Разбиение фигуры на простые части

Пусть задана какая-либо сложная фигура произвольной формы. Ее можно условно разбить на несколько более простых частей, для которых уже известны формулы вычисления площадей.

Например, можно выделить отдельные участки, где график функции f(x) является выпуклым вверх или вниз. Или разбить область на части, для которых функция не меняет знак. Каждая такая часть уже будет представлять собой обычную криволинейную трапецию.

3.2. Применение интегралов к каждой части

После разбиения сложной фигуры на более простые части, к каждой части применяется соответствующая формула для вычисления площади с помощью определенного интеграла.

Для выпуклых участков используется стандартный интеграл от функции f(x). Для вогнутых участков применяется интеграл с отрицательным знаком -∫f(x)dx, поскольку площадь под отрицательной кривой также отрицательна.

3.3. Сложение результатов с учетом знаков

После того как площади всех частей вычислены с помощью интегралов, производится их суммирование. При этом нужно учитывать положительные и отрицательные значения.

Согласно свойству аддитивности, общая площадь сложной фигуры равна сумме площадей ее частей:

S = S₁ + S₂ + ... + S_n

Где S1, S2, ..., Sn – площади отдельных частей, найденные по формулам выше.

4. Практические примеры и рекомендации

Далее приведем конкретные примеры с пошаговыми инструкциями по вычислению площадей некоторых распространенных кривых.

4.1. Парабола

Рассмотрим вычисление площади фигуры, ограниченной параболой вида y = ax^2 + bx + c.

1. Найти корни уравнения y = 0 для определения точек пересечения параболы с осью OX.
2. Определить интервалы, на которых парабола находится выше или ниже оси Ox.
3. На каждом интервале вычислить соответствующий интеграл от функции либо с положительным, либо с отрицательным знаком.
4. Сложить интегралы, учитывая их знаки. Полученная сумма и есть искомая площадь.

Например, для параболы y = x^2 - 4x + 5 на интервале [-3; 2] получаем:

S = ∫_-3⁰ (x^2 - 4x + 5) dx + ∫₀² (x^2 - 4x + 5) dx = 14

4.2. Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль задается параметрическими уравнениями:

x = a·e^(-bt)·cos(t)

y = a·e^(-bt)·sin(t)

Где a и b — параметры спирали. Площадь фигуры, ограниченной такой кривой, выражается интегралом:

S = ∫ _α^β a^2·e^(-2bt) dt

Например, для спирали с a = 2, b = 0.1, α = 0, β = 10 получим:

S = ∫ ₀¹⁰ 4·e^(-0.2t) dt = 13.53